数学界的悲哀：被人歪解100多年的罗素悖论

门外汉

  我认为罗素悖论只是一个并不算太复杂的逻辑小问题，但是它的问世，却引发了第三次数学危机，到现在也没有彻底解决，而且看到网上对罗素悖论的讨论五花八门，更有驴唇不对马嘴的歪解，感到可笑又可悲。
  为什么说罗素悖论只是一个逻辑小问题？下面说说我的理由。
  要想彻底的弄懂什么叫做罗素悖论，首先要先弄懂，什么叫做“自身属于自身的集合”，也就是形如“A属于A”之类的集合。
  所谓的“A属于A”形式的集合就是说：存在某一个集合A，而A的所有元素中，有一个元素就是它的自身A。
  举例来说：A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，我们发现这个集合的所有元素中并没有一个元素是A，所以它是自身不属于自身的集合。
  而这个集合：A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，A}，我们会发现这个集合中有一个元素是A，也就是说：A属于A，所以它是自身属于自身的集合。
  但是我们会发现后面的这个集合A有点“怪怪的“，究竟怪在哪里，我仍然是举例子来说明：
  假设在一个屋子里面，有10个苹果和10个袋子，有A、B、C三个人分别说了一句话：
  A说：”将屋子里所有的苹果全都装进同一个袋子里“
  B说：”将屋子里所有的袋子全都装进同一个袋子里“
  C说：”将屋子里所有的物品全都装进同一个袋子里“
  逐一分析三个人所说的话：A所说的话没有任何的矛盾。
  但是B所说的话就有矛盾：假设将所有的袋子全都装进编号为1的袋子里，问题是：这个编号为1的袋子也是这”所有袋子“中的一员，所以按规定，袋子1也要被装进袋子1中，这样才能符合”将所有的袋子全都装进同一个袋子里“，但是一个袋子能够自己将自己装下，这是明显违反逻辑的。
  C说的话也同样包含矛盾：假设将屋子里所有的物品全都装进袋子1中，由于袋子1自身也是一个物品，所以袋子1也要将自己装进袋子1里。
  从以上所举的例子说明：所谓的”自身属于自身的集合“也就是”A属于A“形式的集合，就如同是”能够自己装下自己的袋子”一样，是违反逻辑的。
  这种集合中最典型的一个例子就是：“所有集合的集合”，假设能够包含所有集合的集合为S，由于S本身就是一个集合，所以S同时也是S中的一个元素。这种集合也就相当于“能够装下所有袋子的袋子”一样，是违反逻辑的。
   因此，在数学上，“自身属于自身”这种形式的集合是不存在的，由于不存在“自身属于自身的集合”，所以问一个集合是不是属于自身的，就是无意义的。
  所以自罗素悖论提出之始，只要直接证明任何集合都不能自身属于自身，这个悖论也就彻底解决了。
    再来看一下数学界为了解决罗素悖论而弄出来了一大堆的公理对一些原本就不存在的集合加以限制，将简单的问题复杂化，这种解决方法究竟意义何在？
   顺便说一下数学界对于罗素悖论的三种主流解决方案：
  1：罗素自己提出来的类型论，其本质是将集合分出层次，从而避免A属于A形式的集合出现，由于其特设性极强，遭到广泛的批评，不被数学界所承认。
  2：ZF公理集合论：用子集公理限制了这种有矛盾的集合，被公认为是对罗素悖论最好的解决方案。
  3：NBG公理系统：其原则是说：某些过于庞大的集合就不是集合了，而被称做是“类”。我一直对这种解决方法深表怀疑，这种解决方法就如同说：能够装下所有袋子的袋子“就不是袋子了，而换用一个其他的名称，于是矛盾解决了。
    上述三种解决方案没有一种能够直接证明”自身属于自身的集合“违反逻辑，因此说明人们对于导致罗素悖论的矛盾根源并没有真正的弄明白，所以这也就是罗素悖论至今都没有被彻底解决的原因。

elim

朴素地说, 集合就是由某种'袋子'确定的,其内部的对象全体, 但不包括该'袋子'本身.

但是当人们谈论极其大的汇总, 例如一切事物(所成的"集合"), 那么因为这个"一切事物"也是个事物, 就只好(逻辑地)成为自身的一员.

数学能够处理的事情必须是逻辑上不至导致荒谬,矛盾的东西, 这就有必要将这种大到以自己为元素的汇集排除在数学意义上的集合的概念之外. 但为了肯定这种大汇总的存在, 就把它们称作正则类.

任何一种基本见解, 即使被某些人在某个时期彻底驳倒, 也未必就不会被后人重新捡起来高举. 所以罗素悖论还会被不断地曲解, 正解. 重要的是, 现代公理集合论不是建立在对集合的朴素的直观上, 而是建立在形式和逻辑的考虑上. 它对于数学的需要和本质而言, 是够用的, 基本上合理的.

ataorj

我属于我可以说.
一个事物作为单元素时其集合和元素是可以等价的.
A={A}={{A}}
{}本身不是衣服,只是表述事物的一种手段,求最实质部分[实元素]时可以化简掉

门外汉

为什么我会说ZF公理系统没有彻底解决罗素悖论呢？因为ZF公理系统只是用子集公理或正则公理排除掉了A属于A形式的集合，但并不能证明这一类集合存在逻辑上的矛盾，所以这并不能从根源上彻底解决罗素悖论。在此之前，数学界也从来没有意识到A属于A形式的集合本身存在矛盾，所以只是用一些公理对这种集合加以限制，使其不能出现在该数学系统之中，这实质上就是回避了矛盾，不是真正的解决矛盾。

elim

门外汉 发表于 2015-9-21 07:08
为什么我会说ZF公理系统没有彻底解决罗素悖论呢？因为ZF公理系统只是用子集公理或正则公理排除掉了A属于A形 ...

哥德尔不完全定理指出, 即使一个系统自洽, 其自洽性也是不可证的. 从这个意义上说, 用任何方式建立的数学系统, 即使在其中人们找不到悖论, 也不能证明系统彻底解决了悖论. 这个问题对系统而言是不可判定问题. 换句话说, 彻底解决悖论的提法就是虚妄的, 没有意义的. 你可以说, 这是人类理性的悲哀. 其实认识到这点是人类理性的荣耀. 肯定了人不是上帝, 人的理性的有限, 以及人的理性的发展没有尽头.

如果这么看问题, ZF系统没有彻底解决悖论而是回避悖论, 是所有可能的选择中最好的: 禁止含自身的类作为合法的数学意义上的集合, 禁止概括原则用于已知集合以外的论域, 并不使任何已知的数学受到限制, 只是加强了数学对象构造的明确性.

不论人们怎么看数学界对罗素悖论的处理, 怎么理解罗素悖论, 都不会导致对悖论的所谓"真正解决".  这就是为什么批评公理集合论的人不断出现, 更好系统的建议还不曾看见.

jzkyllcjl 的"系统"倒是问世了, 但根本就不成体统.