用极限理论lim(n→∞)证明0.9999……＝1

门外汉

0.999……是否等于1的争论由来已久，一般认为，支持0.999……＝1的为官科学派，而支持0.999……≠1的为民科学派，但凡事都有例外，据我所知，官方阵营中的高校教授也有支持0.999……≠1的，虽然只是极少数。
那么，0.999……真的等于1吗?我可以非常肯定的告诉你，根据严格的极限理论，它确实等于1，但已有的各式各样的证明方法中均多多少少有些不甚明了之处，虽然证明正确，但常常让人难于理解，似懂非懂，易让人产生证明错误的感觉。
下面给出本人的证明方法，不敢说天衣无缝，但自信能解开某些人心中积聚已久的困惑，下面证明开始:
给出无穷数列:｛9/10，99/100，999/1000……(10^n－1)/10^n……｝，问:当n取何值时，它的值等于0.999……?
可以计算出，当n=1时，值为0.9，当n=2时，值为0.99，当n＝3时，值为0.999，……，我们会发现，n取多大的自然数，小数点后面就有多少个9，n取1000，小数点后面就有1000个9，n取8万，小数点后面就有8万个9……
n的取值范围是自然数集合N中的全体自然数，当n越大时，它的值在不大于1的范围内也就越大(有界)，无限地趋近于1，可是你会意外地发现，无论n取哪一个自然数，它的值一定会小于1，n取任何一个自然数它都不会等于1(否则请给出反例)。
证明到此暂停一下，我想有些人(不在少数)会异常地高兴:n取仼何一个自然数它的值全都小于1，这不恰好证明0.999……＜1吗?
很多人无论你怎么跟他讲，讲实数，讲极限，讲戴德金分割，讲了一大套，没用，他就是认定0.999……＜1，那不是没有原因的，更不是冥顽不化，因为明明n取遍了所有的自然数全都小于1，而你却告诉我0.999……＝1，骗小孩玩吗?我们是成年人，我们有自己的思考判断能力，你们官科想要强行给我们洗脑，你洗得了吗?明明是无论n取仼何自然数它都小于1，你偏告诉我它等于1?我信你个鬼啊，你个糟老头子坏得很。
好了，证明继续，要想知道0.999……为什么等于1而不是小于1，就不能不提到一条极为重要的自然数公理，那就是皮亚诺公理，皮亚诺公理有一个极为重要的推论，那就是:虽然自然数的数量是无穷多的，但每一个自然数都是有限的，换言之，不存在无穷大自然数。
回到最初的那个命题:无穷数列:｛9/10，99/100，999/1000……(10^n－1)/10^n……｝，问:当n取何值时，它的值等于0.999……?
前面已经讲过，n=1，小数点后面就有1个9，n等于5，小数点后面就有5个9，n等于多少小数点后面就有多少个9，那么，n等于多少时?小数点后面有无穷多个9也就是0.999……?
前面说到，根据自然数皮亚诺公理，任何一个自然数都是有限的，所以，无论取哪个自然数，小数点后面都是有限个9，你就算是一一取遍了所有的自然数小数点的后面也全都是有限个9，就不存在有无限个9的情况。
那么，难道0.999……不存在吗?
当然存在，数学家们讨论了两千多年0.999……的问题，你说它不存在?讨论了两干多年不存在的东西?从古到今无数人会瞬间昏倒过去。
那么，究竟n取何值它才等于0.999……?前面说过了，n取多少小数点后面就有多少个9，答案已经呼之欲出了:当n大于所有自然数时:大于所有自然数是多少?那当然就是无穷了，即n的取值为无穷时，小数点后面有无穷多个9。
来看一下这个式子:lim(n→∞)10^n－1/10^n＝0.999……，这个式子究竟是什么意思?
lim(n→∞)的意思是对自然数取极限，自然数的极限是多少?你可以说自然数没有极限，也可以说自然数的极限是∞。所以这个式子的意思是说:当对定义域的自然数取极限时，(10^n－1)/10^n的极限是0.999……
那么，0.999……究竟是不是该数列的极限呢?判断一个数是不是某一个数列的极限，用的是ε－N语言方法，而我们可以很容易地用ε－N语言判定出0.999……确实是该数列的极限。
但是，该数列还有另外的一个极限，那就是1，列成式子就是:lim(n→∞)10^n－1/10^n＝1。
还是原来的那个老问题:当n取何值时，(10^n－1)/10^n的值等于1?答:n取仼何一个自然数它的值都小于1，只有n取自然数的极限∞，它的值才等于1。
我们同样用ε－N语言可以判定出，1确实是该数列的极限。
现在，这相同的一个数列有了两个不同的极限，即0.999……和1，而且全都是经过ε－N语言严格检验正确无误的，由此引用数学分析中的一条重要定理:如果同一个数列有两个不同的极限A和B，则必有A＝B(证明略)。由于0.999……和1都是该数列的极限，因此便有0.999……＝1。
证明完毕。

xfhaoym

再看看李永乐是怎样证明 的：在网上搜索”0.999……=1吗？数到底是什么？李永乐老师讲数学公理化“

jzkyllcjl

门外汉： 你好！ 对于数列的极限，应当知道： 通常来讲， 极限值只是数列达不到的趋向数值。0.9999……是数列0.90.99，0.999，…… 的简写。

门外汉

jzkyllcjl 发表于 2019-2-26 09:26
门外汉： 你好！ 对于数列的极限，应当知道： 通常来讲， 极限值只是数列达不到的趋向数值。0.9999……是数 ...

您认为0.999……是{0.9，0.99，0.999，……}的极限吗？

jzkyllcjl

门外汉 发表于 2019-2-27 13:23
您认为0.999……是{0.9，0.99，0.999，……}的极限吗？

我不认为0.999……是{0.9，0.99，0.999，……}的极限，因为0.999……是永远写不到底的事物，它不是定数，不能作为数列的极限。按照数列极限的正常定义，极限值 必须是定数。

门外汉

jzkyllcjl 发表于 2019-2-28 02:40
我不认为0.999……是{0.9，0.99，0.999，……}的极限，因为0.999……是永远写不到底的事物，它不是定数， ...

你不认同0.999……是该数列的极限，但数学界认可，这就没办法了，除非你证明0.999……不是实数，否则，如果它是实数，它就必是该数列的极限

jzkyllcjl

门外汉 发表于 2019-2-28 07:11
你不认同0.999……是该数列的极限，但数学界认可，这就没办法了，除非你证明0.999……不是实数，否则，如 ...

我一再指出： 无穷是无有穷尽、无有终了、无有最后 的意义与事实。并根据这个事实指出： 包括无尽小数0.999…… 都不是实数，不是定数，而是现实数量的不足近似值数列的简写。
所以，根据数列极限的定义0.999……不是数列0.9，0.99，0.999，……的极限。 有人指出0.999……是数列0.9，0.99，0.999，……的极限，我多次反对，我指出虽然可以数列0.9，0.99，0.999，……的趋向是0.999……，但这个趋向性 事物是数列0.9，0.99，0.999，……不能达到的0.999……，0.999……不是定数，不是实数。现行教科书说它等于实数1的做法 没有合理的逻辑根据，正如 希尔伯特无穷旅馆一样，应当被否定。

lkPark

门外汉 发表于 2019-2-28 15:11
你不认同0.999……是该数列的极限，但数学界认可，这就没办法了，除非你证明0.999……不是实数，否则，如 ...

无穷级数无极限，Sn才有极限。

门外汉

lkPark 发表于 2019-3-1 05:08
无穷级数无极限，Sn才有极限。

无穷基数无极限?

lkPark

门外汉 发表于 2019-3-1 20:40
无穷基数无极限?

无穷级数是无限个项数之和不存在极限但其Sn可有极限则无穷级数可收敛。