从S={1,2,…,1990}中，取出其和能被 5 整除的 31 个数组成子集 A ，这样的 A 有几个？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

题  从集合 S={1,2,…,1990} 中，取出部分元素组成子集 A ，要求：

（1）A 的元素个数为 31 。（2）这 31 个元素之和能被 5 整除。

    问：满足这样条件的子集 A 有几个？

解  A 中有 1990 个元素，从中任意取 31 个元素组成子集，共有 C(1990,31)

种不同取法，也就是说，共有 C(1990,31) 种 31 个元素的子集。

   由于 1990 能被 5 整除，所以，A 的元素中，除以 5 后，余数为 0,1,2,3,4

的元素的个数相等，各占总数的 1/5 。

   由于对称性，在所有 31 个元素组成的子集中，元素之和除以 5 后，余数为

0,1,2,3,4 的子集数，也应该相等，各占总数的 1/5 。

   所以，元素之和能被 5 整除，也就是除以 5 后余数为 0 的子集 A 的个数为

                            C(1990,31)/5

= 35354952813357122320341059591211104322217517764327654883591445818304 。