求解：对特定区域用四色涂染方法数的递推公式

天山草

用四种颜色涂下面 n+1 个区域，中间区域记为 Z，其周围是 A1、A2、A3、…、An。
相邻区域不能涂成同一种颜色，同一种颜色可以重复使用。
当 n=3 时（包括中间共有 4 个区域），经分析共有 24 种涂色方法。
当 n=4 时（包括中间共有 5 个区域），经分析共有 72 种涂色方法。（2003年全国高考试题）
当 n=5 时（包括中间共有 6 个区域），经分析共有 120 种涂色方法。
当 n=6 时（包括中间共有 7 个区域），经分析共有 264 种涂色方法。
当 n=7 时（包括中间共有 8 个区域），经分析共有 504 种涂色方法。
当 n=8 时（包括中间共有 9 个区域），经分析共有 1032 种涂色方法。

现在的问题是，有关于 n 的涂色方法数目的递推公式吗？

天山草

n = 4 的情况，是 2003 年的高考数学题之一。现在，则成了小学四年级的“奥数题”。

elim

天山草

谢谢 elim 先生的回复。在没有看到elim 回帖之前的昨天晚上，我编了个程序算出了 n 小于 10 以内涂色方法数，从中发现了确有递推公式存在。我得到的公式与elim的公式计算结果相同：
4色涂周围的n个圈（并有一个中间圈，若包括中间圈则是 n+1 个圆圈），涂色方法数 f(n) 等于：
令 f(1)=0，则 f(n) = 2× f(n-1)+24×(-1)^n，也等于 3 色涂周围的n个圈（没有中间圈）的涂色方法数的 4 倍。
f(2)=2f(1)+24×(-1)^2 =0+ 24×1=24，
f(3)=2f(2)+24×(-1)^3 =48 - 24=24，
f(4)=2f(3)+24×(-1)^4 =48 + 24=72，
f(5)=2f(4)+24×(-1)^5 =144 - 24=120，
f(6)=2f(5)+24×(-1)^6 =240+24=264，
f(7)=2f(6)+24×(-1)^7=528-24=504，
f(8)=2f(7)+24×(-1)^8=1008+24=1032，
f(9)=2f(8)+24×(-1)^9=2064-24 = 2040，
.........。
但是为什么是这样的公式，还没有想过，而今天看到了elim的解释，很感谢。
另外，还得到了周围有 n 个圆圈，中间没有圆圈的三色涂色方法数目的递推公式，待以后发上来。
顺便说一下，原帖中 n = 6 （若包括中间那个圈是 7）的计算数据错了，现已更正过来了。

elim

看来结果很完满. 谢谢楼主的分享.

天山草

当颜色数是其它数目时，可以将 elim 的公式加以推广，成为更一般的涂色方案数的计算公式：