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为什么说歌德巴赫猜想是必然成立的——数学问题要依据数据说话
在依据Eratosthenes筛法——x不能被≤√x的所有素数整除即为素数的原理，用小于√(M-2)的所有素数2，3，…，r （r为其中最大的素数，下同）来判断A-x 与 A+x 是否都是素数，得到如下2个条件：
条件a：A-x与A+x同时不能够被≤r的所有素数整除时，两数都是素数；
条件b：A+x不能够被≤r的这些素数整除，而A-x 等于其中某素数时，两数也都是素数。
若把偶数M的符合条件a的x值在区间[0，A-3]个数记为S1(m)，符合条件b的x值的个数记为S2(m)，即可得到偶数M分成两个素数的全部分法数量S(m)，有
S(m)=S1(m)+S2(m) .----------{式1}
对于把偶数M分成的两个素数A-x与A+x的条件a，可看成变量x符合某种由偶数半值A所限定条件的数，其在取值区间[0，A-3] 中的分布规律，可归纳为一个概率问题：
除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、…、jn及(n－jn)、…、Ir及(r -jr)的数的发生概率问题，这里的j2,j3,…,jn,…，jr系偶数半值A除以素数2，3，…，n，…，r时的余数。
因此依据概率的独立事件的乘法定理，符合条件a：
除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r -jr)的x值的分布概率P(m)，
有 P(m)=P(2·3·…·n·…*r)
=P(2)P(3)…P(n)…P(r) . -----------{式2}
故在[0，A-3]中的使得偶数Ｍ成为素对A±x的x值的数量的概率计算值Sp(m)，
有 Sp(m)=(A-2)P(m)----------{式3}
式中：
P(m)=0.5*Π[(p-2)/p ]*Π[(p1-1)/(p1-2)]；
其中0.5*Π[(p-2)/p ]——是最低概率，这里的p是≤√(M-2)的全部奇素数,Π表示该因子的连乘形式；
K(m)=Π[(p1-1)/(p1-2)]——这里的p1是指偶数M所含的≤√(M-2)的全部奇素数因子.Π表示该因子的连乘形式；
K(m)是反映连续偶数的素对数量波动的主因，该 K(m)可称为素因子系数，也可称为波动系数。
{式3}的展开就是：
Sp(m)= (A-2) P(2·3·…·n·…·r)
=(A-2)*P(2)P(3)…P(n)…P(r)
=(A-2)*(1/2)*f(3)*…*f(n)*…*f(r). ----{式3*}----这也是人们通常所称为“连乘式”的一种素对计算式子。
式中：3≤ n≤r；n是素数。f(n)=(n-1)/n, [jn=0时]；或f(n)=(n-2)/n, [jn>0时] ；jn系A除以n时的余数。
从下面的对相对误差所做的统计计算的数据可以看出，概率计算的相对误差分布具有收敛性，大偶数的素对计算值的相对误差的分布始终在小偶数区间[6,100]的偶数的相对误差的分布范围内，并且标准偏差随偶数增大而逐步变小。
由于符合条件b的使得A±x成为素对的x值的分布区间在整个取值区域[0，A-3]中的占比小于2/r，在偶数M趋大时2/r值会越来越小，故可以忽视比较大偶数的S2(m)的独立性把其合并于S1(m)中进行分析。
这样处理后，Sp(m)作为偶数M的全部素对数量S(m)的概率计算值，其与实际素对值的相对误差可以用δ(m)来表示：
就是
δ(m)=[Sp(m)-S(m)]/S(m)------{式4}
由{式4}整理后则有:
S(m)=Sp(m)/[1+δ(m)]------{式5}
{式5}反映了偶数M的素对数量S(m)与概率计算值Sp(m)之间的对应关系。
实例:对10万以内的偶数素对数量的计算值Sp(m)的相对误差δ(m)的统计计算数据:
(标准偏差的通用符号为σx ，μ-样本平均值)
M=[ 6 ,------ 100 ] r= 7 ，n= 48.. μ=-.2418 σχ= .2292 δ(min)=-.6250 δ(max)= .3429
M=[ 6 ,---- 10000 ] r= 97, n= 4998 μ=-.0750 σχ= .0736 δ(min)=-.6250 δ(max)= .3429
M=[ 10002 , 20000 ] r= 139 n= 5000 μ=-.0315 σχ= .0361 δ(min)=-.1603 δ(max)= .1017
M=[ 20002 , 30000 ] r= 173 n= 5000 μ=-.0100 σχ= .0288 δ(min)=-.1145 δ(max)= .1245
M=[ 30002 , 40000 ] r= 199 n= 5000 μ=-.0037 σχ= .0263 δ(min)=-.1034 δ(max)= .1101
M=[ 40002 , 50000 ] r= 223 n= 5000 μ= .0050 σχ= .0253 δ(min)=-.1021 δ(max)= .1131
M=[ 50002 , 60000 ] r= 241 n= 5000 μ= .0082 σχ= .0219 δ(min)=-.0688 δ(max)= .1064
M=[ 60002 , 70000 ] r= 263 n= 5000 μ= .0139 σχ= .0213 δ(min)=-.0681 δ(max)= .0993
M=[ 70002 , 80000 ] r= 281 n= 5000 μ= .0145 σχ= .0202 δ(min)=-.0510 δ(max)= .1006
M=[ 80002 , 90000 ] r= 293 n= 5000 μ= .0129 σχ= .0196 δ(min)=-.0597 δ(max)= .0976
M=[ 90002 ,100000 ] r= 313 n= 5000 μ= .0218 σχ= .0174 δ(min)=-.0380 δ(max)= .1120
很明显,相对误差的统计计算的结果显示:
1) 在小偶数区间,误差值的分布区间稍微大些,并且标准偏差也比较大些;
2) 随偶数的增大,样本内偶数的相对误差平均值μ在逐渐向正方向移动,但标准偏差变得越来越小,说明相对误差值的分布具有收敛的特点。
例如：
从40亿到60亿的偶数样本的相对误差依然具有同样的变化趋势：
4000000000 - 4000000098 : n= 50 μ= .1449 σx= .0003 δ(min)= .1441 δ(max)= .1456
5000000000 - 5000000098 : n= 50 μ= .1462 σx= .0003 δ(min)= .1456 δ(max)= .1468
5999999990 - 6000000088 : n= 50 μ= .1471 σx= .0002 δ(min)= .1466 δ(max)= .1474
因此用概率的乘法定理推出的公式来计算偶数的素对、来证明猜想问题具有可行性与科学性：
对上面的{式3}中的其中最低概率0.5*π[(p-2)/p ]做纯数学的变形:
展开并再引进小于最大素数r的全部奇合数，并且与一个对应的系数F(m)抵消。那么计算式子就能够约分而得到化简:
即有 P(m)min=(1/2)(1/3)(3/5)(5/7)(7/9)(9/11)*…*[(r-4)/(r-2)][(r-2)/r]* F(m)
=F(m)/(2r) ------{式6}
式中，合数因子系数F(m)=f(m1)*f(m2)*…≥1；
这里 m1、m2、…为小于r的全部奇合数，f(m1)=m1/(m1-2)，f(m2)=m2/(m2-2) ，…
就是{式5}可以如下表示：
S(m) = [(M-4)/(4r)]*K(m)*F(m)/[1+δ(m)]------{式7}
其中：
(M-4)/(4r)＞√M/4 或略小于√M/4——r是小于√(M-2)的最大素数，故在r =√(M-3) 时为略小于√M/4;
K(m)≥1；——随偶数所含有的奇素因子而变化；素因子系数反映了连续偶数的素对数量波动的主要因素。
F(m)≥1；——合数因子系数随偶数M的增大， ≤√(M-2) 的最大素数r的增大，而由于＜r 的奇合数的增多而F(m)阶梯式单调变大；
从{式7}的素对数S(m)的因子组成的分析来说:
1. 除个别小偶数受到正相对误差δ(m)比较大的影响外,稍微大的偶数的素对数量由于受合数因子系数单调阶梯式增大的影响，都大于√M/4是必然的了；
2. {式7}表明使得猜想不成立的偶数素对数量S(m)为零的唯一条件是相对误差δ(m)趋向于无穷大，这是与实际偶数的相对误差的统计计算数据(事实情况)不相符的。
实际偶数的素对数量用{式3}计算时的相对误差在偶数趋向更大的过程中,例如在1万亿到1.5万亿的范围内,相对误差的范围只是在0.17附近;在偶数达到2.5万亿附近时,相对误差的范围也仅仅微增大到0.1717附近，而在前面的对于几十亿的偶数的样本的相对误差的统计计算的数据显示，此时统计的标准偏差已经变得很小，因此大偶数的素对计算值的相对误差的波动性是很小的。
由此可以得出结论: 歌德巴赫猜想是必然成立的。
附录：合数因子系数F(m)——这是由{式6}的化简分离出来的一个阶梯式单调变大的偶数区域常数。
F(m)与√M/4 的乘积则反映了偶数越大最低素对数量越多这个现象的根本原因；
区域常数 F(m)摘录如下：
6 -- 122 ； r= 2～7 ；F(m) = 1
124 -- 170 ； r= 11 ； F(m) = 1.2857 [=9/7]
……
1684 -- 1850 ； r= 41 ； F(m) = 2.2908 [=(9/7)(15/13)(21/19)(25/23)(27/25)(33/31)(35/33)(39/37)]
……
9412 -- 10202 ； r= 97 ； F(m) = 3.7148
……
97972 -- 100490 ；r= 313 ； F(m) = 7.7035
……
994012 -- 1018082 ；r= 997 ；F(m) = 17.2608
……
99460732 -- 100140050 r= 9973 F(m) = 97.6233
……
F(m)与√M/4 的乘积反映了偶数越大素对越多的现象的示例：
对10000以上的偶数，则F(m)×√M/4 = 3.7148×(√10000)/4 = 92.87；考虑正相对误差时的计算值会小于实际值的情况，所以
有：10000以上的偶数的素对的低位值应该不低于90，而其中能够被3整除的偶数的素对至少在180以上。
同样的对于1000000以上的偶数的素对：有 F(m)×√M/4 = 17.26×(√1000000)/4 = 17.25×250=4312.5，
即有: 大于一百万的偶数的素对的低位值应该不低于4312*0.9=3880对,其中能够被3整除的偶数的素对至少在7760对以上。
很显然偶数越大则偶数的素对低位值也相应变大。
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发表于 2015-10-2 23:45
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