纠正无穷小趋于0与无穷小等于0之间的逻辑混乱

门外汉

数学是一门讲求严谨的科学，但严谨的数学体系中也难免会出现逻辑混乱，其中最典型的例子就是无穷小究竟是不是0的问题。

牛顿时代古典微积分中无穷小的概念那就不用提了，那根本就是一个自相矛盾，子虚乌有的虚假概念，在经无数数学家潜心改造过的现代微积分中，无穷小被定义为是以0为极限的数列或函数，因此无穷小是变量，数学中不存在类似于牛顿时代的实数无穷小。

但即便如此，对无穷小的误读与误解仍然是层出不穷，最大的问题就是:0是无穷小的极限，无穷小无限地趋近于0，但它究竟能不能等于0呢?

对于极限的理解，有这样的一条解读:极限就是无限趋近而永远不能到达的意思。举一个形象的例子:将一个西瓜切成n份，n越大，每一份的体积越小，这一过程的极限为:lim(n→∞)1/n＝0。不用怀疑，这个等式绝对是正确无误的，但无论是切多少刀，n取得有多大，哪怕是n一一遍取了自然数集合中的所有自然数，每一份的体积也一定大于0，否则，如果说将一个西瓜切成无穷多个0，把西瓜切没了，那就在逻辑上解释不通了。因此在这个例子中，无穷小确实是无限趋近而永远不能到达的意思。

但是另外的一个例子却是与此截然相反，芝诺的英雄追乌龟的故事天下闻名，英雄跑得比乌龟快，在追赶的过程中英雄与乌龟之间的距离无限缩短，无限地趋近于0，如果极限就是无限趋近而永远不能到达的意思，则英雄永远无法追上乌龟，这同样在逻辑上造成困境。

还有另外一个典型的例子就是康托尔的三分点集:将一条线段无限地分割操作，分割的过程中会产生无穷多的短线段，线段越来越短，如果极限真的是无限趋近而永远不能到达的意思，则短线段的长度应该总大于0，不能等于0，但在极限的情况下，短线段的长度最终缩短为0，变为一个无穷点集，在这个例子里，极限又成为了无限趋近并最终到达的意思。

对比前面切西瓜的例子，为什么西瓜永远都不能切成0而康托尔的线段却切成了0呢?这岂不是自相矛盾吗?

这就正是说明:现代数学对于极限的认识是矛盾的，逻辑上是混乱的，以至于在做实题应用中，有时候将无穷小当做恒大于0来处理，而有时候将无穷小当做等于0来处理，0与无穷小之间的界线分辩不清，模棱两可，似是而非。

那么，为什么会出现无穷小似0非0，非0又是0的逻辑矛盾呢?其根本的原因在于对极限的概念定义不明朗，解释不清楚，以至于产生许多的误读与误解。

要澄清极限概念上的混乱，就要正确解释极限中的lim符号它究竟代表的是什么含义，举例来说:lim(n→∞)1/n＝0，这个式子究竟是什么含义，许多人其实并不是真正理解。

如果我将这个式子中的lim符号去掉，那么，(n→∞)1/n＝?它能等于0吗?

在数学中并没有(n→∞)1/n＝?这样的式子，但如果我这样解释你就明白了:1/n(n→∞)等价于｛1/n:n∈N｝，另一个写法是｛1/n:n＝1，2，3……n……｝，大家一眼就看明白了，这是一个以0为极限的无穷数列，也就是无穷小数列，这个数列中仼何一个元素都大于0，没有哪一个元素它等于0，因此(n→∞)1/n≠0。
现在加上一个lim符号:lim(n→∞)1/n＝?，这个式子又是什么意思呢?lim是极限符号，它的中文翻译叫做“取极限”，因此这个式子就是求无穷小的极限值，无穷小的极限值为0，所以它等于0。
因此，对无穷小的正确解释是:无穷小本身不是0，但它的极限是0。
到此，对于极限概念的解读却并没有结束，因为这背后还隐藏着一个极大的问题:n取任何一个自然数它都大于0，那么，n取何值时它等于0呢?
有人说没有任何一个数能满足1/n等于0，这同样是对极限的错误解读，不要忘了，那个式子最后面用的是等号“＝”，而不是用趋于符号“→”，如果没有任何数满足1/n＝0的条件，那么它就不能用等号。
既然n取任何一个自然数1/n都大于0，那么，如果n的取值大于所有的自然数，1/n的值是不是就是0呢?
大于所有自然数的数是什么?那就是无穷大∞，所以这才是对lim(n→∞)1/n＝0的正确解读:当n取自然数的极限∞时(n大于所有自然数)，1/n＝0。
一般地，我们把lim(n→x)(函数)＝y这种形式的式子正确解读为:当n取函数中定义域的极限x时，函数的极限等于y。
举例:lim(n→2)8/n＝4，正确解读为:当n取函数8/n的定义域的极限2时，函数的极限等于4。
至此，对于极限重要概念的解读已基本完成。
回过头来再对比前文中切西瓜的例子和切线段的例子，为什么同样是无穷小，一个永远不能等于0，而另一个却等于0呢?

切西瓜的例子，根据自然数皮亚诺公理，虽然自然数的数量是无穷的，但每一个自然数都是有限的，不存在无穷大自然数，所以无论是n取哪一个自然数，对西瓜都是做的有限分割，不是无限分割，也即是:lim(n→∞)1/n＝0这个式子中，n取的都是自然数，并没有取自然数的极限∞，因为对西瓜的切割没有取极限，所以每一份切割出来的西瓜体积总大于0。

数学分析是基于潜无穷思想建立起来的，在潜无穷思想中，没有n＝∞这样的操作，所以在这种思想指导下，无穷小无限地趋近于0而永远不能为0。

再看康托尔的例子:一条线段经无限分割，线段的长度越来越短，并最终等于0，这在n取任何一个自然数即有限分割中都是做不到的，而康托尔做的是无限次的分割，即n的取值大于所有自然数，n＝∞。对比于切西瓜的例子，并没有做到n取自然数极限的操作，而康托尔的例子才是真正的取极限，使得线段的长度为0，这就是二者之间的区别。
对比于数学分析的潜无穷思想，康托尔是实无穷理论的创始人，他的思想是实无穷思想，所以他会做到取自然数极限的操作，而基于潜无限思想的数学分析不承认会有这样的操作。

所以归根结底，无穷小究竟能不能等于0是潜无穷思想与实无穷思想之间的区别。

xxxxxxxx

的确，应该搞清楚！……

lkPark

一派胡言∶N≠∞、自然数没有极限、1/∞≠0而是→0（近零有不明确值）、极限零存在是对数列而言但运动同时零也会发生，零和非零两者可同时存在即零可既是零又不是零（动态不为零静态为零这取决于意识选择，但相遇时被意识视为静态），无穷小永不为零（数学），康托尔是错的。“越来越短”是不同的有限分割造成的而不是∞分割造成的！潜无穷的无穷小是趋于更小值而不是趋于零。王军明示

门外汉

lkPark 发表于 2019-2-27 15:24
一派胡言∶N≠∞、自然数没有极限、1/∞≠0而是→0（近零有不明确值）、极限零存在是对数列而言但运动同时 ...

康托尔没错，是你错了。

门外汉

lkPark 发表于 2019-2-27 15:24
一派胡言∶N≠∞、自然数没有极限、1/∞≠0而是→0（近零有不明确值）、极限零存在是对数列而言但运动同时 ...

零既是零又非零，这本身就是自相矛盾

lkPark

门外汉 发表于 2019-2-28 14:10
零既是零又非零，这本身就是自相矛盾

选择条件不同结果不同，你的智商不够，只要龟兔之间的距离可无限变小我们就可以选择龟兔相遇且两者距离为零。条件相等结果互否才是错误。

门外汉

lkPark 发表于 2019-2-28 12:03
选择条件不同结果不同，你的智商不够，只要龟兔之间的距离可无限变小我们就可以选择龟兔相遇且两者距离 ...

当n等于多少时，兔子追上了乌龟?

lkPark

门外汉 发表于 2019-3-1 08:40
当n等于多少时，兔子追上了乌龟?

无需n等于多少只需n无限增大即可则兔子无限靠近乌龟即可！这和相遇时距离为零等效，事实也证实了该结论，只要你无限靠近一个人最终你们会相撞。当然该现象需要逻辑理论来解释。

elim

门外汉等的难处在于没有真懂极限是啥．

jzkyllcjl

菲赫金哥尔茨《微积分学教程》一卷一分册38页 讲到“由于历史性形成的术语《无穷小》量是不十分恰当的，希望不要引起读者的误解，……”