[分享]一些极限问题

elimqiu

(1) a > 0, 则 a^(1/n) → 1  (n →∞)
(2) n^(1/n) → 1  (n →∞)
(3) 求常数s,t 使得 (n^s)(n!)^(1/n) → t    (n →∞)
(4) 设 c ∈ [0,1], 证明存在趋于0的正数序列 {An},{Bn} 使得
lim An^Bn = c
n→∞

elimqiu

(2) 任给 ε> 0, 令 N(ε) = [1+2/(ε^2)], 则当 n > N(ε) 时有
n ≥1+2/(ε^2)， (n-1)ε^2/2 ≥ 1, (1+ε)^n > n(n-1)ε^2/2 ≥ n
于是 1 < n^(1/n) < 1+ε, | n^(1/n) -1| < ε  故有
lim  n^(1/n) = 1
n→∞
(1) 当 1 < a < n 时   1 < a^(1/n) < n^(1/n) . 对这个不等式取极限知道
lim  a^(1/n) = 1
n→∞
当 0 < a ≤ 1 时， 由 倒数的极限 = 极限的倒数 知道所求极限还是等于 1
(4) 取 Bn = 1/n. 如果 c = 0, 取 An = (1/n)^n; 如果 0 < c < 1, 取 An = c^n, 若 c = 1, 取 An = 1/n
那么 {An},{Bn} 是趋于0的正数序列且
lim An^Bn = c
n→∞
(3) 要用到 Stirling 公式的一个简单形式。供玩味

elimqiu

要对 ε-N 语言有所认识和操练，就要接触和练习 (2) 这种推演方式。
ε-N 语言的大意是： n 趋于无穷时 An 趋于 A 即
lim  An = A
n→∞
这个命题等价于以下命题
任给误差ε> 0, 恒存在(与ε相应)的数N, 当 n > N 时 |An - A|< ε（An 逼近 A 的误差小于ε）
这等价与命题
任给ε> 0， {An} 至多只有有限项与 A 的距离不小于ε
注意ε是任意的正数而不是某个正数。这使得论证有了一定的难度。
ε-N 语言本质上就是“n越来越大时，序列的项要多靠近极限值就有多靠近它”这种直观说法的逻辑化，严格化。
现行数学中序列的极限的存在并不取决于，或者要求序列的项“达到（等于）”该极限。极限标志着序列的终极逼近值或者说是0误差逼近值。这是序列各项的有限逼近的一个质变。ε-N 语言是这种辩证现象的形式逻辑表达。这件事情本身就很辩证。

elimqiu

利用相同的原理可以精确地求出许多初等数学完全束手无策的图形面积。
顽石居然认为微积分是一门近似估计的学科。

顽石

el“不可一世”！不会“算啦”。

wangyangkee

如果 elimqiu 愿意放下那个不可一世的姿态，本人请 elimqiu 考虑一个问题：

问题是：
2005年，有个高中生，在数学中国基础数学栏目出了一道题，至今未看到答案；这题是：求阶乘的前n项和。

------------如果elimqiu 放不下那个不可一世的姿态或者不愿意放下那个不可一世的姿态，那，算啦，

elimqiu

下面引用由顽石在 2010/09/01 09:14am 发表的内容：
el“不可一世”！不会“算啦”。

下面引用由wangyangkee在 2010/09/01 09:30am 发表的内容：
如果 elimqiu 愿意放下那个不可一世的姿态，本人请 elimqiu 考虑一个问题：
问题是：
2005年，有个高中生，在数学中国基础数学栏目出了一道题，至今未看到答案；这题是：求阶乘的前n项和。
------------如果elimqiu 放不下那个不可一世的姿态或者不愿意放下那个不可一世的姿态，那，算啦，

如果顽石不可一世地坚持狗屎堆逻辑，灌水工不可一世继续闹蠢货，那么解题的事，对这两位就算啦。

wangyangkee

哈，你看，那“不可一世”不是故意逗你吗？
请，请，请！　　　求阶乘的前n项和。

elimqiu

你还是让顽石来拯救这个高中生吧。请，请

wangyangkee

如果你暂时不愿解此题，那，问一下：这题有解吗？