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一， 应有的认识
翻开《自然科学大事年表》（上海人民出版社1978出版第4页）可以看到“公元前六世纪，……证明了勾股定理，发现了无理数”。也可以看到：“公元前六世纪，印度人求出√2=1.4142156”的论述。但认真研究起来，这个1.4142156只能是√2的一个不恰当的近似值；很早人们就证明了√2不能等于整数、分数或十进小数（因为十进小数就是分数）。根据勾股弦定理，√2它代表以1为边长的直角三角形的斜边长。它是有使用意义的理想事物，所以近代人，称这个无理数是实数的做法是应当的。至于无理数不能表示为十进小数的问题，可以使用近似与极限方法解决。事实上，对2进行开方的近似计算就可以得到：√2的准确到十分之一、百分之一、千分之一的不足近似值1.4，1.41，1.414，与过剩近似值1.5，1.42，1.415。从理论上讲，可以进一步得到与n=1,2,3,……误差界1/10^n的不足近似值无穷数列1.4，1.41，1.414，……；与过剩近似值无穷数列：1.5，1.42，1.415，……。这两个数列是满足条件：①pn是自然数；②（pn/10^n）^2<2;；（(pn+1)/10^n）^2 >2的收敛数列｛pn/10^n｝或(pn+1)/10^n，根据数列极限理论，这两个数列的极限是无理数√2。前一个数列可以简写为1.4142……，又由于，这个数列是无穷数列，无穷是无有穷尽、无有终了的意思，所以可以称这样的表达式1.4142……为无尽小数。需要强调是：无尽小数1.4142……是永远写不到底的事物，它不是一个定数，他不能等于无理数√2。其它无理数与此类似。
二， 对无理数、无尽小数的错误认识
关于无理数，十九世纪戴德金与康托儿都提出了理论。康托儿说：“无理数的建立必须以这样或那样的实无穷为基础”。“实无穷论者认为无穷是完成了的现实存在着的整体”，但认真研究起来，无穷是不能被人们完成了的事物。 因此，现行数学理论中“定义2 若……，则称十进小数α=A0.A1A2A3……为实数。当α是无限不循环小数时，特别叫它无理数。”（摘自余元希《初等代数研究》上册，上海 高等教育出版社1988年87页）是不恰当的、应当取消的。事实上，根据这个定义即根据实无穷观点得到的1.4142……=√2 的等式是虚无的、无用的、无法证明的等式（因为：事实上1.4142……是写不到底的、无法应用的事物）。
三， 改革后的实数理论
按照上述应有的认识，我已改写了无尽小数的概念、改写了实数理论（参看《无穷的概念与实数理论问题》发表在理论数学2012年第2卷第4期）。根据这个改革后的理论，应当成的极限表达式√2=lim1.414…… 、√2=lim｛1.5，1.42，1.415，……｝与全能近似表达式√2~1.414……，与√2~｛1.5，1.42，1.415，……｝；式中符号~叫做全能近似相等。这两个数列中的第一项分别是√2的准确到1/10的不足近似值与过剩近似值，第二项分别是√2的准确到1/10^2的不足近似值与过剩近似值，……第n项分别是√2的准确到1/10^n的不足近似值与过剩近似值；由于数列中含有√2根号2的任意小误差界下近似值，所以我称这两个数列都是根号2的全能近似值数列。
特别是，在无理数是数列极限的事实下，可以得到实数的四则运算是其全能近似值数列四则元算的极限。实数理论与无尽小数理论的这个改革还消除了三分律反例，消除了连续统假设的大难题，消除了两千多年来的“实无穷与潜无穷观点”的争论。 |
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发表于 2015-10-14 10:21
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