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一 无尽小数的虚无性
这个虚无性表现在以下三点。第一，由于“小数是分母为10，100，1000，……的特殊分数”（参看《小学数学复习指导》内蒙古人民出版社），而无尽小数无法找到这样的分母。所以，无尽小数已经不是正规的小数了。这是第一点虚无性。第二，根据“小数点后面的数字是无限延续下去的，这样的小数叫做无限小数（即无尽小数）。（参看《小学数学复习指导》内蒙古人民出版社）“ 的说法，无尽小数是无限延续下去的，因此，它是无有穷尽、无有终了（即无有底）的事物，这个延续没有底即没有完了的时候，所以它就完成了的现实事物。这是第二点虚无性。第三，现行教科书中有等式√2=1.414……。但无尽小数1.414……的平方不会等于”小数位全是0的整数——2“，这是第三点虚无性。
二 虚无性的消除方法
为了消除上述的虚无性，我考察了无尽小数的提出过程。提出了无尽小数是计算实数或测量线段长度过程中出现的近似值无穷数列的简写，这样理解的无尽小数就是有用的无尽小数。例如，对2进行开方计算；，对2进行开方的近似计算就可以得到：√2的准确到十分之一、百分之一、千分之一的不足近似值1.4，1.41，1.414，与过剩近似值1.5，1.42，1.415。从理论上讲，可以进一步得到与n=1,2,3,……对应的误差界1/10^n的不足近似值无穷数列1.4，1.41，1.414，1.4142，1.41421，1.414213，1.4142135，1.41421356，……；与过剩近似值无穷数列：1.5，1.42，1.415，1.4143，……。这两个数列是满足条件：①pn是自然数；②（pn/10^n）^2<2;；（(pn+1)/10^n）^2 >2的收敛数列｛pn/10^n｝或(pn+1)/10^n，根据数列极限理论，这两个数列的极限是无理数√2。前一个数列可以简写为1.4142……，又由于，这个数列是无穷数列，无穷是无有穷尽、无有终了的意思，所以可以称这样的表达式1.4142……为无尽小数。需要强调是：无尽小数1.4142……是永远写不到底的事物，它不是一个定数，他不能等于无理数√2。其它无理数与此类似。
三，改革的好处
按照上述应有的认识，我已改写了无尽小数的概念、改写了实数理论（参看《无穷的概念与实数理论问题》发表在理论数学2012年第2卷第4期；《对数学教科书的一个重要改革意见》发表在中国科技论文在线）。根据这个改革后的理论，应当成的极限表达式√2=lim1.414…… 、√2=lim｛1.5，1.42，1.415，……｝与全能近似表达式√2~1.414……，与√2~｛1.5，1.42，1.415，……｝；式中符号~叫做全能近似相等。这两个数列中的第一项分别是√2的准确到1/10的不足近似值与过剩近似值，第二项分别是√2的准确到1/10^2的不足近似值与过剩近似值，……第n项分别是√2的准确到1/10^n的不足近似值与过剩近似值；由于数列中含有√2根号2的任意小误差界下近似值，所以我称这两个数列都是根号2的全能近似值数列。
特别是，在无理数是数列极限的事实下，可以得到实数的四则运算是其全能近似值数列四则元算的极限。实数理论与无尽小数理论的这个改革还消除了三分律反例，消除了连续统假设的大难题，消除了两千多年来的“实无穷与潜无穷观点”的争论。
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发表于 2015-10-19 09:21
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