评阿贝尔的《四色地图问题的解决》

雷明85639720

评阿贝尔的《四色地图问题的解决》
雷  明
（二○一五年十月十八日）

1、只有平面图中所有的不可避免构形都是可约的，才能说四色猜测是正确的
阿贝尔等人写这篇文章的目的在于说明他们宣布“用高速运转的电子计算机证明了四色猜测是正确的”这一结论是正确的。文章开头就说：“1976年，我们解决了四色问题。……我们的证明前无古人的使用了计算机，……证明的正确性不靠计算机是无法检验的。此外，这个证明的某些关键想法，是通过计算机试验而得以完善的。……”文章的结尾又说：“1976年6月，我们完成了构造可约构形的不可免集的工作；四色定理得到证明。”但是从阿贝尔文中的论述看，却好象又是不能证明了四色猜测是正确的，前后是有些矛盾的。比如，要证明四色猜测是正确的，就得证明平面图的所有不可避免构形都是可约的，即是可4—着色的。但文中却非常用肯定的指出了平面图的不可避免集中的某些不可避免构形是不可约的。这当然就不能说明四色猜测是正确的了。
阿贝尔在文中说：“肯普证明了，在每幅正规地图上至少存在一个国家有两个、三个、四个或五个邻国（换言之，平面上不存在任何正规地图，使得每个国家都有六个或更多的邻国）。这可以表示为下述说法：由一个国家与两个国家相邻组成的‘构形’、一国与三国相邻的构形、一国与四国相邻的构形、一国与五国相邻的构形所构成的集合是‘不可避免的’，即是每幅正规地图必须至少含有这四种构形之一。不可避免性是我们证明四色定理的两个重要的基本思想之一。”“第二个重要的思想是可约性。直观上说来，一个构形是可约的，如果仅仅考察这个构形以及国家排列成链的方式，就能证明该构形不可能出现在最小五色地图上。肯普证明了他的四种构形中有三种是可约的，但是未能证明一国与五国相邻的构形是可约的。肯普证明了有四个邻国的国家不能出现在最小五色地图上，由此产生证明构形可约的方法。”
“构形”是平面图中客观存在的，有不可避免的构形，也有非不可避免的构形。例如由度小于等于5的顶点为中心顶点的轮，就是平面图的不可避免构形，这些构形就构成了平面图的不可避免构形集；而由度大于等于6的顶点为中心的轮，虽然也是构形，但却不是平面图的不可避免构形。只要所有的不可避免构形（或者说不可避免集中的全部构形）都是可约的，（或者说都是4—可着色的），那么平面图的四色猜测就是正确的。而只要有任何一个不可避免的构形是不可约（或不可4—着色）时，都不能说四色猜测是正确的。
为什么只要所有的不可避免构形是可约的，就可以说明四色猜测是正确的呢。因为在任何平面图中总可以找到一个顶点的度是小于等于5的，这种顶点在平面图中是不可避免的。如果证明了以这些顶点为中心顶点的轮所构成的构形是可约的（证明时不光要看到构形中的顶点，还要看到构形以外的其他顶点，并假设除该轮中心顶点以外的所有顶点是可4—着色的，且构形的围绕栏顶点已占用完了四种颜色的情况。仍用坎泊所创造的颜色交换技术进行证明。），则对具体图进行着色时，最后所剩下的度小于等于5的那个顶点就一定可以着上图中已用过的四种颜色之一，该图是4—可着色的。至于其他度大于等于6的轮构成的非不可避免构形是否可约都是无所谓的，因为我们对任何平面图着色时，最后所进行着色的顶点完全可以是一个度不大于5的顶点。这样就可以把一个构形是无限多的证明问题变成了一个只要证明有限个构形的问题了。
2、用以代替5—轮构形的（5—5）和（5—6）构形是不可约的，就不能说明四色猜测是正确的
阿贝尔在文中说：“1890年，即肯普发布他的证明之后十一年，佩塞•约翰•赫伍德（Percy John Heawood）指出，肯普关于任何最小五色地图都不能含有一个有五个邻国的国家的论证是有毛病的，而且错误不象是容易修补的。”又说：“构形大小必定是对四色问题的这种处理方法的主要考虑。自从肯普第一个引进可约性思想以来的一百年间，建立了一些标准的方法，以考察构形是否可约。……当人们试图构造可约构形的不可避免集而发现一个特殊的构形不可约时，为了得到好的效果，往往可以把他换成另一个或多个构形，通常是包围圈更大的构形。”
由于坎泊没有能够证明5—轮构形是可约的，所以人们就企图寻找用以代替5—轮的构形。在1904年，Wernicke用了（5—5）和（5—6）两个构形来代替5—轮构形，当然阿贝尔的“证明”也不例外（不但如此，另外还用了1500个构形来代替5—轮构形）。但阿贝尔却只“证明”了由构形（5—5）和（5—6）构成的集合{（5—5），（5—6）}是不可避免集（这种用特理学中的“放电理论”“证明”的方法是否合适还有待研究），可并没有证明构形（5—5）和（5—6）是可约的。阿贝尔在文中说：“于是，这两个（不可约）构形构成一个不可避免集，即是，由于这些计算适用于任何平面三角剖分（任何顶点的度数不小于5），所以每个这样的平面三角剖分都含有这个不可避免集的两个构形之一。”又说：“这个去荷手续产生的不可避免集由两个构形组成：一个5度顶点，由一条棱同另一个5度顶点相连，以及一个5度顶点，由一条棱同一个6度顶点相连。这些构形不是可约的。”阿贝尔在这里所说的两个构形就是用以代替5—轮构形的构形（5—5）和构形（5—6），并且肯定的说了他们都是不可约的。
既然不可避免的构形是不可约的，那还能说明四色猜测是正确的吗。本来就是因为—轮构形未证明是可约的而用构形（5—5）和（5—6）来代替，它们本身都不是可约的，怎么能说明5—轮构形是可约的呢。
关于术语“可约构形的不可避免集”一词，其意义应该是“不可避免集中的构形全都是可约的”，即这些构形既都是不可避免的，又都是可约的。但在“不可避免集”一词前冠以“可约构形的”这个定语，是乎并不需要，以免人们误认为有“可约构形的不可避免集”，那么相应的也还应有“不可约构形的不可避免集”，这样，同是不可避免的构形中，就出现了有可约的构形，又有不可约的构形。这样以来，四色猜测就成为不正确的了。所以我还认为就叫“不可避免构形集”为好，然后再说当该集中的构形都是可约时，四色猜测才是正确的。
3、产生以上矛盾的原因分析
第一，构形是客观存在的，一个就是一个，是不能相互代替的。用构形（5—5）和（5—6）代替5—轮构形是不合适的。
第二，构形是以一个顶点为中心的轮，轮中心顶点是待着色顶点，只能有一个；轮沿顶点是围栏顶点。（5—5）构形和（5—6）构形中都有两个待着色顶点（其他的所谓构形中的待着色顶点则更多），着色是一个一个顶点的着，当把一个待着色顶点着上颜色后，剩下的一个待着色顶点不还是一个5—轮构形吗。想绕过5—轮走，还是不能（没有）绕过去的嘛。
第三，只有所有的不可避免构形都是可约时，才能说明四色猜测是正确的，只要有一个不可避免构形是不可约的，就不能说明四色猜测是正确的。
第四，物理学中的“放电理论”是不能来证明四色猜测的。一个图中无论“电荷”怎样转移，始终总荷数都是12，移来移去是不起任何作用的。
第五，产生以上第一、第二两个错误作法的原因是来自于阿贝尔文中所说的“当人们试图构造可约构形的不可避免集而发现一个特殊的构形不可约时，为了得到好的效果，往往可以把他换成另一个或多个构形，通常是包围圈更大的构形。”这句话的。这句话是否正确，是没有根据的，也是不可证明的。而产生以上第三、第四个错误的原因也是来自于阿贝尔文中所说的“……希什引进一个找出构形（不必可约）的不可避免集的方法，类似于电网络中的移动电荷，但是他对待不可避免性思想却不是象他对待可约性思想那样热心。可是，最初以相当初等的的形式在希什的工作中出现的这个‘去荷’方法在以后关于不可避免集的整个工作中却是有决定意义的。……”这段话的。把物理学中的“放电理论”引入到数学中证明四色猜测中来简直是不可思义的。
4、5—轮构形的可约性证明
5—轮构形中两条连通链A—C和A—D只有起点（着A色）是同一个顶点外，其他再无共同顶点的情况（即两链不相交叉的情况）坎泊已经证明是可约的了，可以同时从轮沿顶点中移去两个同色B，可以给5—轮的中心顶点（待着色顶点）V着上。而5—轮构形中两条连通链A—C和A—D除了起点（着A色）是同一个顶点外，两条链还有其他共同顶点的情况（即两链相交叉的情况，交叉顶点也着A色），我们在这里证明可约性如下：
既然A—C、A—D链都不能交换，交换两条关于B的链又不能同时移去两个B，但我们还可以想办法，把连通的A—C或A—D链进行破坏，使其变成不连通的。如果我们从A—C、A—D两链的交叉顶点（着A色）交换A—B链，就可以达到使A—C、A—D两链均不连通的目的（这一方法我叫做“断链”法）。这时构形就变成了一个可以再进行一次坎泊的颜色交换技术，就可给待着色顶点——5—轮的中心顶点——着上图中已用过的四种颜色之一的目的。5—轮构形是可约的。
现在，坎泊提出的平面图的不可避免构形集中的所有构形都是可约的了，当然也就证明了四色猜测是正确的了。
5、四色猜测是正确的
阿贝尔在文中说：“赫伍德在他进攻这个问题时研究了原来的四色猜测的一种推广。古斯里和肯普研究的地图，是平面或球面上的地图。赫伍德考虑更复杂的曲面上的地图，能够得到一个优美的论证，对这些曲面上的地图着色所需的色数给出一个上界。要是他所用的方法可以应用于平面的话，本来是会给出四色猜测的一个证明的。”
这里所说的曲面上地图色数的上界，就是指赫渥特给出的多阶曲面上的地图着色公式。至于该公式是怎么得来的，我们不知道，也没有看到有关这方面的文献资料。但我们可以通过多阶曲面上的欧拉公式直接推导出赫渥特的着色公式。而在多阶曲面上的欧拉公式中，当曲面的亏格为0（平面和球面的亏格都是0）时，多阶曲面上的欧拉公式就成了平面图的欧拉公式。所以说赫渥特多阶曲面上的地图着色公式也应是适用于平面或球面的，因为平面或曲面也是曲面的一种。当赫渥特多阶曲面上的地图着色公式中，曲面的亏格为0时，的确，赫渥特的着色公式的结果是小于等4的，这就是四色猜测。另外，我们也可以直接由平面图的欧拉公式推出任何平面图的色数都会不大于4的结论。这也就可以证明四色猜测是正确的。
雷  明
二○一五年十月十八日于长安
注：此文已于二○一五年十月十九日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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