【问题】请教：∞是变量还是常量？

yi_wen

　　无限与有限，是哲学中一对历史悠久的矛盾体。可惜人类至今仍未能科学解决好两者之间的转化关系。比如在标榜为精确科学的数学中，解决两者转化关系的极限概念，至今仍是自相矛盾的。


　　学数学的都知道，数学讲求严格，一丝不苟。但实际上，却存在严重自欺欺人漏洞。比如数学分析定义：无穷大（小）量是可以大（小）于任意指定常数的一个变量。但极限表达式：
　　当n-->∞，互为倒数关系的两个变量ｎ与1/n的极限：lim n＝∞，lim 1/n=0。而∞在这里正是无穷大，倒数＝０，因而只能是个常量。也就是说，在∞并没有定义的前提下，数学在这里把代表常量的∞，与定义为变量的无穷大量未加区分的等同使用了。

　　这样，问题就来了：∞到底是常量，还是变量？若是变量，则变量都有值域，比如变量A：-∞≤A≤+∞，那么变量∞呢？总不能说它的值域为：-∞≤∞≤+∞吧？！而∞若为常量，可数学中从未给出无穷大常量的定义呀？它仅仅给出了“无穷大变量”的定义！难道就这么不明不白、鱼目混珠的使用∞了？


　　如此严重的自相矛盾、自欺欺人、无法自圆其说的的数学，竟然自诩为精确科学！它又精确在哪里呢？

　　而千百年来，尤其是近代，人类其实就是这样蒙混过关，自欺欺人的。大家说对吗？

yi_wen

　　有点数学常识者都知道，自然数列：１，２，３，……ｎ，……没有最大值，换句话说，即它的数量有无穷多个。类似地，有理数，实数，无限循环与不循环小数的位数等等，其数量也都具有同样的特性。我们把这种现象总结起来看，即可知：∞其实很容易直观理解，只不过是用于表示计数对象的个数无穷多的一个数学常量而已。所以，在现有数学体系中，除了0，1，2.……，9，这10个有限数数字外，数学还有一个数字：∞，代表着与其他10个有限数字不同质的数字：无限大常数。
　　这个常识性结论，即使讲给小学生来听，也不会听不懂吧？

　　但只要确立了∞是无穷大常量，那么立刻就可以得出如下一系列颠覆性的数学结论：

　　任意一个常数ａ，其倒数是1/a，这是大家都知道的数学常识性定义。那么常量无穷大∞的倒数是多少？当然就是常量无穷小1/∞！而这样的无穷小显然有这样一个性质：它虽然无穷小，但也是有，而不是无，从而不是０！这才是完全符合现有数学规则的逻辑自洽性结论！但现有数学又告诉我们：

　　当n-->∞，互为倒数关系的两个变量ｎ与1/n的极限：lim n＝∞，lim 1/n=0。


　　这就奇怪了：变量1/n的极限，按照数学的倒数定义， n-->∞时，它不应当是 lim 1/n=1/∞，无穷小 吗？怎么会为0而从有变无了呢？原来是依照极限定义，0与无穷小1/∞，同时满足变量1/n的极限定义！那为什么就取0（代表无）而舍弃代表有的1/∞从而无缘无故把无穷小给抛弃了呢？现有数学既没有给出逻辑推理，也没有给出任何根据！因而实际上相当于在这里隐含使用了一个公理：1/∞=0！
　　这也就是说，数学在这里等于定义了无穷小常量是这样一个量，它在有限数运算中，虽然是有，却可以忽略不及而被当作无对待：1/∞＝0！
　　就象我们日常生活中天天需要忽略不计许多“无穷小”对象一样，比如糖罐中还粘着的一粒糖，洒在锅台上的一粒面粉等等。所以，无穷小1/∞＝0，从而有质变为无，这就是数学没有定义与说明而掩耳盗铃、瞒天过海所偷偷使用的公理之一！而这个公理的重要性，乃是所有高等数学的基础！可以这样说，现代数学，没有无穷小“1/∞＝0”这个隐含公理的存在与作用，高等数学就成为流沙滩上的海市蜃楼！根本无从站立！

任在深

楼主的问题提的很好！
      请看！
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1/n 2/n 3/n 4/n ,,,(n-1)/n.  n→∞.

显然 当n→∞时，1/n≠0.
因此这又是现代数学中的一个错误！

elim

在标准分析中 ±∞ 不是数，而是无界变量的两极。+∞ 表示变量上无界， -∞ 表示变量下无界。
由此衍生出它们是两个不可超越的广义界(无界方向).

一个变量被称作无穷大量，是说它不是一个有界变量。如果它上无界，那么就存在它的值的一个上无界序列{An}, 使得对任给实数 M, 序列之多只有有限项不大于 M。用 lim An = +∞ 来表示序列的这种定向无界性。类似地解读 lim An = -∞。用 lim An = ∞, 表示 lim |An| = +∞。

传统的 1/∞ 应该解读为 1/∞ = lim 1/An = 0. 其中 lim An = ∞.  因此虽然 ∞ 不是(数), 1/∞ = 0 传统上表示常量 0。0 虽然可以算作无穷小量（极限为0 的变量）， 但一般无穷小量未必是常量 0，无穷小量甚至可能恒不为0。

既然∞不是数，就既不是变数也不是常数。所以主贴的问题是伪问题。

数学如果被今人在这种水平上发现荒谬，就表明近百年的数学家都是自欺欺人的半脑瘫，这种见解一般是相当狂妄无知的。所以在这种水平上质疑，要多点自省，多点调查研究。

elim

风花飘飘 发表于 2015-10-27 07:46
n±∞ =?

把不是数的 ±∞ 添到实数系里得到扩充的实数系，这个扩充改变了原数系的运算的定义域。加法不再对任意元素有意义。例如
n±∞ = ±∞ 对一切实数 n 成立， 但 ∞-∞， ∞/∞ 一般没有确定的意义。

elim

它们不在实数系里，在这个意义上它们不是数，而在扩充的实数系R*里它们是常数，即使如此，它们在R*也中不是所有的运算都能参与。