[讨论]平行线公设有问题吗？

qingjiao

欧氏几何的第五公设是平行线公设，据说定义为“同一平面内永不相交的两条直线是平行线”？
后来很多人对这个公设提出疑问，因为无限远处是无法验证的，所以“永不相交”也是无法验证的。根据和第五公设不同的假设，就产生了不同的非欧几何。
个人认为，欧氏第五公设只是定义的问题，或表述的问题。平行线最根本的特征不是永不相交，而是距离处处相等，永不相交只是由距离处处相等推出的结果。因此如果该公设的定义改为：同一平面内与参考直线距离处处相等的直线为参考直线的平行线，那就毫无异议了。显然这样的两条直线永远不会相交，而我们也是可以作出这样的直线来的。
不仅直线，曲线也可以是距离处处相等，永不相交的。例如两个同心圆，一个半径为r，另一个为r+1。当r不断扩大时，这两个圆的距离永远保持是1；当r-->∞时，根据某些人的观点，这两个圆至少在局部区域可以看成是两条直线，但它们依然永不相交。
所以我不太明白非欧几何有什么意义和作用？它能解决的问题似乎在欧氏几何中也能解决，而一旦取消了平行线公设，也就等于取消了直角坐标系，所有“正交”之类的性质就不再成立了？

申一言

[这个贴子最后由申一言在 2010/09/21 11:59pm 第 1 次编辑] >>>个人认为，欧氏第五公设只是定义的问题，或表述的问题。平行线最根本的特征不是永不相交，而是距离处处相等，永不相交只是由距离处处相等推出的结果。因此如果该公设的定义改为：同一平面内与参考直线距离处处相等的直线为参考直线的平行线，那就毫无异议了。显然这样的两条直线永远不会相交，而我们也是可以作出这样的直线来的。<<< 正确！ 非常正确！ 需要纠正的是距离应该改为基本单位！ 因为距离是应用数学中的名词，基本单位才是纯粹数学中的名词！ 在空间任意两条直线之间的基本单位处处相等则该两条直线平行！ a_________________________________________b □_________________________________________□ c d

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/10/03 00:02am 第 1 次编辑]