什么样的结论才真正意味着四色问题的真正解决

雷明85639720

什么样的结论才真正意味着四色问题的真正解决
雷  明
（二○一五年十一月十八日）

现在人们在企图解决四色问题时，都是力图在找什么“可约构形的不可避免集”，即找由可约构形构成的不可避免构形集。我们可以来分析一下这个“可约构形的不可避免集”一词的汉语意思。这里的“不可避免集”是主语，而“可约构形”则是定语。意思是由可约构形构成的不可避免集。那么找出了这样的构形集能说明什么问题呢？能说明图的不可避免构形集中的所有构形都一定是可约的吗？不可能的。你找出的“可约构形的不可避免集”里的元素再多，如阿贝尔就找了近2000个，仍然是不能说明图的不可避免构形集中的所有构形（元素）都是可约的。所以说就是找出了可约构形的不可避免集，也不能说明四色猜测就是正确的。而只有证明了图的不可避免集中的所有元素（构形）都是可约的时，才能说明四色猜测被证明是正确的了。
阿贝尔说：“肯普证明了，在每幅正规地图上至少存在一个国家有两个、三个、四个或五个邻国（换言之，平面上不存在任何正规地图，使得每个国家都有六个或更多的邻国）。这可以表示为下述说法：由一个国家与两个国家相邻组成的‘构形’、一国与三国相邻的构形、一国与四国相邻的构形、一国与五国相邻的构形所构成的集合（图5）是‘不可避免的’，即是每幅正规地图必须至少含有这四种构形之一。不可避免性是我们证明四色定理的两个重要的基本思想之一。”
现在证明四色问题的关键问题是如何证明“一国与五国相邻的构形”（即5—轮构形）是否可约的问题，而不是要找什么“可约构形的不可避免集”的问题。不去直接碰这个硬钉子，避开矛盾，而去绕弯子，用什么（5，5）构形与（5，6）构形来代替5—轮构形，都是不能解决问题的。阿贝尔用了那么多的机器时间，找了那么多的可约的构形，还不是没有证明所有的不可避免构形都是可约的吗？只有把“一国与五国相邻的构形”证明是可约的了，四色问题就解决了，四色猜测就是正确的。否则，四色猜测就是不正确的。
现在在国内，雷明和张彧典等很多的爱好者已经证明了5—轮构形是可约的，是完全能说明四色猜测是正确的了。


雷  明
二○一五年十一月十八日于长安

注：此文已于二○一五年十一月十八日在《中国博士网》上发表过，网址是：

被遗弃的草根

什么样的结论才真正意味着四色问题的真正解决?
就平面地图上的图形而言，有各式各样形状、存在各种不同相邻关系，只有证明了平面地图上的图形有任意形状，存在各种不同相邻关系时，一图一色，相邻异色，所有图形仅用四色就够了，那么，就证明了四色问题。各种不同相邻关系，当然包括一个或两个或三个等等图形完全包围了若干图形的情况，以及被包围的图形也存在这样的情况。但是，我们必须规定：图形数量为有限；相邻图形的相邻必须成线而不为可以计数的点；地图必须由图形充满，而不能有没有图形的任何空隙；每个图形必须是连成一片，而不能分成至少两个不相连接的部分。

雷明85639720

被遗弃的草根朋友，你说的“图形”实际上就是地图中的“区域”，即国家。你说的规定1是不合适的，因为“图形数量为有限”时就不符合猜测是对于任意的地图或平面图而言了；你的规定2就是坎泊所规定的“正规地图中不存在有四个国家以及四个以上的国家相交于一点的情况；你的规定3说得不太明白，地图中的确是“没有任何空隙的”，除了陆地国家以外，其他地方就只是一个“海洋国家”；你的规定4也是坎泊早已规定的“正规地图中是不存在一个国家有几个不连通的区域的”。坎泊已证明了地图的不可免构形就只有一国与两国相邻，一国与三国相邻，一国与四国相邻和一国与五国相邻这四种构形，那么只要证明了这四个不可免构形都是可约的，也就证明了四色猜测是正确的。若有一个不可免构形不可约，四色猜测就是不正确的。你说是不是这样。

被遗弃的草根

四色问题是由实际上升到理论的数学问题，它与哥德巴赫猜想、黎曼假设等不一样，后者是从理论到理论。因此，一幅地图上的图形（也就是表示区域，或者表示国家和地区的）数不可能是无限的，也就是它还需保留一点实际的含义，这是我的理解。相邻图形相邻不能为可以计数的点，相邻图形指两个、三个......不论多少个（有限）相邻，可以计数的点指一个、两个、三个......不论多少个（有限）点。强调地图没有空隙，这是与实际的地图相区别，因为图形仅表示国家和地区。至于图形的不可避免集，我没有研究过，不过我不理解不可免构形就只有几种。
这个问题我写过一篇文章，发表后，我就再没去看、没去想了。不过此文在世界上数学界影响较大，很多数学家、数学杂志看过后都给我来信表示赞扬，特别是这文摘要被第27届国际数学家大会征文录用、并公开后，一些科学刊物来信希望能同意他们以广告方式刊登其摘要。

雷明85639720

被遗弃的草根 发表于 2015-11-21 15:10
四色问题是由实际上升到理论的数学问题，它与哥德巴赫猜想、黎曼假设等不一样，后者是从理论到理论。因此， ...

朋友，地图中的区划本来就是连成一片的，没有隙的。地图实际上是没有四个以上区划相交于一点的，所以说地图上的边界线一定都是由若干个顶点构成的线段构成的。请问你过去对四色问题的研究文章能不能发来学习一下呢。

被遗弃的草根

雷老师：
我对四色问题证明的文章，就在本论坛2014n年5月20日上传有，点击：http://www.mathchina.com/bbs/for ... id=23889&extra=
敬请指教！

雷明85639720

被遗弃的草根 发表于 2015-12-6 13:42
雷老师：
我对四色问题证明的文章，就在本论坛2014n年5月20日上传有，点击：http://www.mathchina.com/bbs ...

朋友，你的文章其实我早就看过了，不过印象不深。你文章中有一段话：“我们把球面地图上的图形看成是印在橡皮曲面上的图形，只要在任意一个图形中破开一个孔，然后用力伸展球面成平面，那么，这个球面地图就变成了一个平面地图. 这个孔的边缘就成了这个平面地图的边缘，但是，它不是图形的一条边界封闭线。显然，被开孔图形的一条边界封闭曲线在平面上向内包围了该地图上除开孔图形本身和开孔图形其它边界封闭曲线包围的图形外的全部图形，而这条边界封闭曲线向外包围它所在的开孔图形和这开孔图形其它边界封闭曲线向内包围的图形.因此，我们只需要证明来自任意球面地图上的平面地图上的全部图形就行了。”前面说得还是明白的，但到了“显然，……”以后，就非常的看不明白是在说什么了，你能仔细的讲一讲吗。当然后面还有很一些不明白的地方，以后再慢慢说吧。

被遗弃的草根

你没理解意思。我们说，在球面地图上，每个图形都是被它自己的一条边界封闭曲线向内圈着的。但是，当把其中一个图形开个孔，并从这个孔用力伸展球面成平面后，这个孔的边缘就成了这个平面地图的边缘。如果被开孔的图形只有一条边界封闭曲线，那么，原先在球面上，这条边界封闭曲线包围着被开口的图形，现在成平面后，它向内包围的是球面地图上除开口图形外的全部图形，唯独没有向内包围开口图形。在平面地图上，开口图形的面积是平面地图的边缘（也就是那个孔的边缘）与包围其它全部图形那条边界封闭曲线之间的环状图形。这个环状图形是包围其它全部图形那条边界封闭曲线向外包围的，也就是这条边界封闭曲线没围着的。以上说的是，开口图形只有一条边界封闭曲线的情况。如果开口图形有至少两条边界封闭曲线呢，那么，其它的边界封闭曲线，包括每一条边界封闭曲线包围的图形，它们都在上面所说的那个环状图形内，当然，也就不在向内包围其它全部图形的那条边界封闭曲线的包围圈内，这些图形和开口图形一起，被说成是那条边界封闭曲线向外包围的图形。
雷老师，你看了上面解释后，再看文中语句就好理解了。文中语句也不是原文，是我从英文翻译过来的，我说得简短些，但也应该是严密的，需要逐字推敲。

雷明85639720

你原文上的意思，以及现在你说的我都能看出点名堂的，但总觉得你的文字上很咬口，不如带上图更好一些。你的意思是在象皮膜地球仪上，把海洋点破，拉成平面，就是现在我们看到的展开成平面的世界地图，海洋至少有三条封闭边界曲线，分另包围着欧亚非、南北美、澳洲、南极洲四个大陆，点海洋的那一个点的边就是这个地图的图匡了。但你把话说得很难叫人理解。所以我认为要用文字与图相结合的方法才能让读者更明白。

雷明85639720

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