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费马大定理的成立仍然具有一定的偶然性 山东章丘一职专 马国梁
方程 x^n + y^n = z^n 当n ＞ 2 时，将永远没有整数解。这就是在数学界非常著名的费马猜想。
从它1937年被法国业余数学家费马提出，到1995年英国数学家怀尔斯发表论文，历经358年的漫长岁月。曾经让历代数学家和无数业余爱好者付出了巨大牺牲，这也许是他的提出者根本不曾想到的。幸好，它还没有成为不可证明的千古之谜，通过怀尔斯的证明终于让“猜想”变成了“定理”。
其实费马大定理本身并没有多么美好，或者在数学上多么重要、有什么用途。可是在证明它的过程中，那些大数学家知难而进、不屈不挠、前赴后继、顽强奋斗的英雄事迹却构成了一部艰难曲折、跌宕起伏足以令人震撼的长篇小说；且在向着这个顶峰攀登的过程中，不时闪现出人类智慧的光芒。新的数学领域、新的思想和新的方法被不断创立，它由此所给我们带来的收获已经远远超过了定理本身。相比之下，这是其它任何证明方式都不能达到的。
诚然，数学上的许多定理往往不止一种证明方法，绝无仅有的孤证是十分可疑的。各种证明方法的含金量是与我们所付出的劳动量成正比的。只要付出了足够多的劳动，即便那些错误的证明方法也是具有一定价值的，最起码它告诉我们：此路不通！
而那些轻易到手的证明方法，其价值就大大降低了。试想：如果费马当初想到的那个证明给我们留下来了，或者被后人重新找到了，那么还有以后的艰难证明吗？至于那些广大业余爱好者的证明，错误的自然一文不值，即便正确的又有多少意义呢？所以只有在主流道路上，只有在前人奋斗的基础上，通过开拓创新和坚韧不拔的奋斗，才能胜利到达光辉的终点，才能获得学术界的广泛承认。怀尔斯所以有今天的成功，是他广泛汇总了人类在二十世纪的优秀成果，精心准备了多年，之后又在自家的阁楼上潜心研究了七年才取得的。
数学是一门严谨的科学，容不得任何疑点。虽然费马本人具有相当高的数学水平和个人声望，他声称“发现了一个奇妙的证明方法”，但只要他的方法没有公开被大家认可，那么我们就不能把他的猜想当成定理；既然他的“绝妙证明”没有被后人重新找到，那我们就不能不怀疑它的存在和正确性。
最有效的简单证明当然是存在的，这就是反例。如果能找到一组整数代进去让方程成立，那么费马猜想便被否定了。可是尽管人们费尽了九牛二虎之力，却始终没有找到一个反例。特别是在前人已经做了无数尝试的情况下，要找到一个反例又谈何容易啊！最可悲的是：它根本就没有反例——虽然我们现在知道了，可是我们的前辈们知道么？他们不知道！可怜他们是在黑暗中摸索了多少年，在压根就不知道的情况下煞尽苦心，去寻找根本没有的东西。
而正面的证明则就更苛刻了。你用数据不管证明了多少例，上千、上万还是上亿，都不能说明往后也都是这样的结果。有限的证明总是不充分的，除非你找到一个严谨的逻辑链，把结果推广到无限远的地方。可是这个工作也不容易做啊！一方面我们不知道这样的证据链究竟存不存在，另一方面即便存在可又如何才能找到它呢？
幸慰的是怀尔斯成功了，由此我们可以相信费马定理是正确无疑的了。可是如果从更高的层次看，这个定理的成立是必然的么？它的成立稳定吗？
当然，在整数内部有一套严格的制约机制，费马定理的成立无疑是内部制约的结果。可是制约的体系也是分层次的，制约的因素和过程都是相当复杂的。在大量的客观现象中，如果从纵的方向看，似乎每个现象都是制约的结果；可是如果从横的方向看，各种现象之间则就没了这种制约关系，成了一种随机现象。这就像秋天的树叶，虽然每片树叶落到地上不论朝上还是朝下，都自有一番道理；但是各片树叶之间却是毫无关系的，彼此没有道理的，朝上朝下各随其便。
在数论中，难道不也存在这种情况吗？
笔者通过自己的认真研究，终于从更高的层次上发现了决定费马方程是否成立的两大因素，这就是方程变量的元数和指数。
① 当方程的元数一定时，指数n越大，右边z的幂在数轴上的分布就越来越稀，左边x和y的乘幂之和的n次方根能够恰巧成为整数的可能性就会越小。所以只要n在小的时候方程没有整数解，那么在大了以后就更没有整数解。
② 当指数n一定时，左边变量的元数越多，那么正整数各种可能组合的数量就越多，其乘幂之和的n次方根能够成为整数的机会就越多。所以方程在元数少的时候没有整数解，一旦多了就可能有整数解了。
根据z的幂在数轴上的分布密度和x、y在z附近的组合数，再通过一段又一段的积分，我们是能够算出方程的整数解组数来的，同时找出其中的统计规律。设方程左边的变量元数为m ，那么计算的结果证明：
当 n ＜ m +1 时，方程将有无数组整数解；
当 n ＞ m + 1 时，方程没有整数解；
而当n = m +1 时，方程虽说可有无数组整数解，但是相对正整数的个数来说它是十分微弱的无穷量，寻找起来非常困难。可能数量稀少，也可能数量有限，还可能一组也没有。具有很大的偶然性。
例如当 m = 2 时，n = 3
x^3 + y^3 = z^3
现在已经严格的证明，方程没有一组整数解。但是却有无数的近似解。例如两边相差只有1的解就有两个，它们分别是
6^3+ 8^3 = 9^3 -1 9^3 + 10^3 = 12^3 + 1
我们还知道：当m = 3 时，n = 4
x^4 + y^4 + z^4 = w^4
欧拉曾经断言：该方程没有整数解。然而1988年，哈佛大学的内奥姆却用计算机发现了一组整数解，即
2682440^4 + 15365639^4+18796760^4 = 20615673^4 这就说明：这类临界方程究竟有没有整数解、又有多少整数解完全是自定的，根本没有横向的制约。
由上所述可知：费马当年作出的猜想太冒险了，它的成立具有相当的偶然性。因为费马方程的左边是二元的，所以只有当n ＞ 3 时，方程才能肯定没有整数解；而费马预言的是当 n ＞ 2 时。虽然实际上它的确没有整数解，但这不过是一种巧合，没有什么必然因素使它一定这样；假如它真有一组整数解，也没什么大不了的。整个数学大厦绝不会因此伤筋断骨，只是内部结构略有调整罢了。
相比之下，欧拉就没有这么幸运了。一个反例即足以否定他的猜想，更何况还可能有其它的解。至于三元方程为什么与二元的不同，这有待日后研究。
所以为了保险起见，还是不要在临界线上走钢丝了吧！
还有当 n ＞ m + 1 时，说“方程永远没有整数解”这话也太绝对了！即便在实践上它是真的，但在统计学上却是不妥的，因为我们所计算的结果并不是零。既然是随机的，那就什么可能都会有，所以零结果并不是唯一的。须要知道：对于无限多的随机现象来说，只有高一级的统计规律才是不可违背的。
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发表于 2015-12-8 21:54
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