阿贝尔只说了他们解决了四色问题，但没有说四色猜测是正确还是错误

雷明85639720

阿贝尔只说了他们解决了四色问题，但没有说四色猜测是正确还是错误
雷  明
（二○一五年十二月十五日）

阿贝尔在他的《四色地图问题的解决》一文中一共有两处提到了他们只是“解决”或“证明”了四色问题，而并没有说通过他们的“证明”，得到了四色猜测是否正确的结论。为什么现在大家都认为阿贝尔证明了四色猜测是正确的呢。
阿贝尔的文章一开始就说：“1976年，我们解决了四色问题。”在文章的最后又说道：“1976年6月，我们完成了构造可约构形的不可免集的工作；四色定理得到证明。”全文没有一处提到他们通过“证明”认为四色猜测是正确的还是不正确的。不知是为什么，现在大家都认为阿贝尔“证明”了四色猜测是正确的。难道只是因为他们用了计算速度是人无法比拟的电子计算机吗，难道用了计算机就一定会得到猜测是正确的结论吗。要知道计算机是人创造的，也是要人去操作和指挥才能进行工作的。只有人叫它干什么，它才能干什么。人不会干的事，它怎么会去干呢。所以在阿贝尔说了开始的那句话以后又说：“当然，四色定理的简短证明说不定有一天会找到，也许是一个聪明的高中学生找到的。”这本身就说明他对他的“证明”就是信心不足的。
现在再看看阿贝尔“证明”中得到的结论：
阿贝尔在文章中说：“肯普证明了，在每幅正规地图上至少存在一个国家有两个、三个、四个或五个邻国（换言之，平面上不存在任何正规地图，使得每个国家都有六个或更多的邻国）。这可以表示为下述说法：由一个国家与两个国家相邻组成的‘构形’、一国与三国相邻的构形、一国与四国相邻的构形、一国与五国相邻的构形所构成的集合（图5）是‘不可避免的’，即是每幅正规地图必须至少含有这四种构形之一。不可避免性是我们证明四色定理的两个重要的基本思想之一。”“肯普证明了他的四种构形中有三种是可约的，但是未能证明一国与五国相邻的构形是可约的。”“构形经常用它的圈的长度来说明：例如，圈长为6的构形就是边缘回路正好是有六个顶点的构形。”“当人们试图构造可约构形的不可避免集而发现一个特殊的构形不可约时，为了得到好的效果，往往可以把他换成另一个或多个构形，通常是包围圈更大的构形。”
阿贝尔在“证明”中采用了希什的所谓放电理论中的电荷转移，他说：“在证明四色定理时，这种对正荷数顶点去荷的目的是要找出一手续，恰当的说明如何移动荷数，以保证在产生的构形中每个正荷数顶点要么属于一个可约构形，要么与之相邻。由于由这个手续标志出来的构形必定成为一个不可避免集，如果这些构形也是可约的，那么四色猜测也就得到了证明。当然，如果产生的构形并非全都可约，那么就没有取得任何真正的进展。事实上，肯普的不可避免集可以看成是完全不移动荷数这个不起作用的手续产生的不可避免集。”“举一个相当简单的去荷手续以及相应的不可避免集的例子，可以澄清这种思想。考虑下述手续：从每一个5度顶点转移1/5单位的荷数到它的每个主要邻国。相应的不可避免集由两个构形组成：一个是一对5度顶点，由一条棱连接起来；另一个是一个5度顶点，由一条棱连接到一个6度顶点。”这就引入了两个构形去代替坎泊不能证明的那个一个构形。
阿贝尔又继续说：“这些构形得到如下：一个5度顶点在这个手续终了时具有正荷数，它至少有一个邻国不是主要邻国，所以这个顶点必定保留正荷数；这个顶点或者有一个5度邻国（相应于不可避免集中第一个构形的情况），或者有一个6度邻国（第二个构形）。”“一个6度顶点原来的荷数是0，因而不能接收任何荷数。一个7度顶点在手续终了时具有正荷数，它必须至少有六个邻国都是5度顶点；如果它至少有六个这样的邻国，其中必有两个由一条棱连接起来（不可避免集的第一个构形）。一个8度或更高度的顶点结果不可能具有正荷数，即使它所有的邻国都是5度顶。检查一个8度顶点就可以明白这种情况：它的原荷数是－2，而它能接收的最大正荷数是1/5的8倍，即1又3/5。于是，这两个（不可约）构形构成一个不可避免集，即是，由于这些计算适用于任何平面三角剖分（任何顶点的度数不小于5），所以每个这样的平面三角剖分都含有这个不可避免集的两个构形之一。”
阿贝尔这里所说的“两个构形”就是用以代替5—轮构形（即坎泊未能证明是可约的那种不可免的构形）的（5，5）构形和（5，6）构形。阿贝尔在对文章中的图10的说明中也说到了这两个构形：“去荷手续产生可约构形的不可避免集，做法是：把任意一个三解剖分（任何顶点的度数都不小于5）的正荷数重新分配，使得正荷数只出现在可约构形中。由于每张地图上都存在正荷数，所以选取以各种邻接关系出现的构形就可以构成不可避免集。如果这个集合中的每个构形都是可约的，那么就不能存在任何最小五色地图，而四色定理得证。一个简单去荷手续的例子是从每个正荷数顶点转移1/5单位的荷数给它的每个负荷数邻国。一个5度顶点（黑园点）在这个过程终了时具有正荷数，它必须至少有一个5度邻国（图a）或一个6度邻国（图b，灰园点），使得它必须保留荷数。一个6度顶点决不会变成正荷数顶点，因为，它既然原来的荷数是0，就决不会接收正荷数。一个7度顶点最后具有正荷数，它必须至少有六个5度邻国；这时其中至少有两个是相邻的（图a）。度数大于7的顶点决不能接到足够的正荷数以抵销其原来的负荷数。这个去荷手续产生的不可避免集由两个构形组成：一个5度顶点，由一条棱同另一个5度顶点相连（图a），以及一个5度顶点，由一条棱同一个6度顶点相连（图b）。这些构形不是可约的。如果修改去荷手续，从每个正荷数顶点转移1/3单位的荷数给它的每个负荷数邻国，就会产生稍好一些的集合（图c和d）。如果转移1/2单位的荷数，则所产生的集合接近于作者的去荷手续的早期说法所产生的集合。”当然这里他这里所说的“早期说法”是指什么了。
上面阿贝尔两次提到了（5，5）构形和（5，6）构形是不可避免的，但又两次得到了该两个构形又都是不可约的，也没有见到他是如何证明其是不可约的，所以不知他道底是认为四色猜测是正确呢还是不正确呢。从阿贝尔上面说的“由于由这个手续（指电荷转移——雷注）标志出来的构形必定成为一个不可避免集，如果这些构形也是可约的，那么四色猜测也就得到了证明。当然，如果产生的构形并非全都可约，那么就没有取得任何真正的进展。”看，显然是没有证明四色猜测是正确的，而正好是证明了四色猜测是不正确的。可是人们为什么都要说阿贝尔证明了四色猜测是正确的呢。
阿贝尔在文中说：“1970年作者之一（哈肯）曾经指出一些改进去荷手续的方法，开始希望这些改进可能会产生四色猜测的证明。可是，困难仍旧显得可怕。一个困难是：人们认为，可约构形的任何不可避免集中会含有很大的构形（邻国圈包含的顶点有18个之多）。……”“另一个主要困难是：没有一个人真正知道究竟需要多少可约构形才能构成一个不可避免集。看来，很可能构形的数目会成千上万，而且定不出一个上限。……”“即使四色定理可以通过找出可约构形的不可避免集而得到证明，但这种证明却不会使那些要求数学优美的人感到满意。使很多数学家更加恼火的是，没有一个人能够凭手检验不可避免集中所有构形的可约性。……”
现在我要问，有谁能知道阿贝尔的633个构形就是全部的不可免构形呢，又有谁认真的检验了阿的证明是否有误呢。连阿贝尔本人也没有说他证明了四色猜测是正确的，而对该“证明”也没有进行检验是否正确的人却认为阿贝尔证明了四色猜测是正确的，这不是怪事吗。这不是完全迷信于电子计算机吗。请不要忘记，电子计算机是人创造的。
雷  明
二○一五年十二月十五日于长安
注：此文已于二○一五年十二月十五日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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