再谈平面图中的构形

雷明85639720

再谈平面图中的构形
雷  明
（二○一五年十二月十七日）

    一、什么是平面图中的“构形”，它的定义是什么，没有一个统一的说法。我们引用各种说法如下：
阿贝尔在其《四色地图问题的解决》一文中的说法
1、“肯普证明了，在每幅正规地图上至少存在一个国家有两个、三个、四个或五个邻国（换言之，平面上不存在任何正规地图，使得每个国家都有六个或更多的邻国）。这可以表示为下述说法：由一个国家与两个国家相邻组成的‘构形’、一国与三国相邻的构形、一国与四国相邻的构形、一国与五国相邻的构形所构成的集合（图5）是‘不可避免的’，即是每幅正规地图必须至少含有这四种构形之一。不可避免性是我们证明四色定理的两个重要的基本思想之一。”
2、“用对偶图的语言来说，一个构形乃是一个三角剖分的一部分，由一个顶点再加上连结诸顶点的所有的棱组成。与这个构形相邻的那些顶点以及连结它们的棱组成的边缘回路，称为该构形的圈（对偶图中的圈相当于原地图中包围该构形的国家组成的圈）。构形经常用它的圈的长度来说明：例如，圈长为6的构形就是边缘回路正好是有六个顶点的构形。”
王树禾在其《图论》一书中的说法：
“平面三角剖分的某个圈中的顶导出子图称为一个构形，包围此构形的圈称为构形围栏，围栏上的顶数称为围栏长。”
从上面的不同说法中可以看出，坎泊只定义了地图中的不可避免构形，在阿贝尔说“当人们试图构造可约构形的不可避免集而发现一个特殊的构形不可约时，为了得到好的效果，往往可以把他换成另一个或多个构形，通常是包围圈更大的构形。”后，阿贝尔、王树禾对构形的定义就并不只是指不可免的构形了，而且构形中的待着色顶点也不只是一个了。
但我个人的看法仍是：构形一词的出现是与图的着色相联系的，当然离开了着色就无所谓“构形”了。所以说构形就是除了一个顶点未着上图中已用过的四种颜色之一的一个未完成着色的图。由于地图的对偶图是一个极大图，其每一个顶点都是处于一个轮的中心顶点位置，所以就把以该未着色的顶点为中心顶点的轮叫做一个构形，而省去了该轮以外的所有顶点。在用着色的方法证明四色猜测时，认为除去了构形中该未着色的顶点外，剩下的图是可4—着色的，然后再想办法给该未着色顶点着上图中已用过的四种颜色之一。
二、讨论
从上面构形的定义看，构形中的待着色顶点可以是若干个，构形是三角剖分的一部分等等。可以得出：
1、可以说一个构形的待着色顶点是可以有无限多个的，那么去掉了其围栏顶点后，诸多的待着色顶点也就是一个任意的平面图，这个图该如何着色呢。是不是还要再找其可约构形的不可免集呢，如此循环下去，有没有头呢。
2、可以说任何一个构形本身就是一个任意的平面图，那么构形（5，5）和（5，6）也就各是一个平面图了。如果说这两个构形是不可约的，那么也可以说这两个平面图也是不能4—着色的。这样不就说明了四色猜测是不正确的，不成立的了吗。现在又有那个专家敢说四色猜测是不成立的呢。他们不都是在重复的说着阿贝尔的话：什么（5，5）和（5，6）构形是不可免集，但又是不可约的。连阿贝尔都说他们只是“解决”了四色问题，而并没有肯定四色猜测是正确还是不正确。可现在的专家们却硬要说阿贝尔“证明”了四色猜测是正确的。真是莫名其妙。
三、我的观点
1、（5，5）和（5，6）构形既然是平面图的不可免集，若能证明它们是不可约的，就能说明四色猜测是不成立的。但要拿出该两构形的不可约的证明来。不能说这两个构形既是不可免的，又是不可约的，四色猜测还是正确的。只有证明了该两构形和其它的不可免构形是可约的，也才能说明四色猜测是正确的。（5，5）和（5，6）构形是否可约，我已多次发贴进行了证明，请网友们去查看。网址是：
2、如果说阿贝尔“证明”了四色猜测是正确的，那么作为平面图的一个构形或一个具体图来说，（5，5）和（5，6）构形也就一定是可约的，否则，只要有这两个中的一个不可约，四色猜测也是不可能成立的。在这一点上，阿贝尔虽说了该两个构形不可约，但也没有肯定的说四色猜测就是正确的。只是用他们“解决”了四色问题这一含乎的句子一笔带过。
3、总之，（5，5）和（5，6）构形既不可约，则四色猜测就不能成立，和四色猜测成立该两个构形一定可约，这两种说法只能有其一。不能说（5，5）和（5，6）构形既不可约，四色猜测还成立或者四色猜测成立但该两构形又不可约。

雷  明
二○一五年十二月十七日于长安

注：此文已于二○一五年十二月十七日在〈中国博士网〉上发表过，网址是：