林格尔公式与赫渥特公式的关系

雷明85639720

林格尔公式与赫渥特公式的关系
雷  明
（二○一五年十二月二十日）

1、1890年，赫渥特构造了赫渥特图，他与坎泊都不能对他的图进行4—着色，从而否定了坎泊1879年的证明。赫渥特虽然没有公开说“四色猜测”不成立，但却利用了坎泊所创造的颜色交换技术，证明了所谓的“五色定理”。赫渥特后来不但把注意力放在了可嵌入到球面（或平面）的图的最大色数问题上，而且也把注意力转移到其他曲面上图的色数的确定这一问题上。在赫渥特1890年的一些文章中，他试图获得关于亏格大于0的曲面上的最大色数χ（Sn）的一个公式（其中n是正整数）。赫渥特一生研究四色问题六十年，但最终没有解决四色问题，他却于1890年提出了一个亏格大于0的曲面上图的色数的公式，即赫渥特的着色公式。即
χ（Sn）≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞ （n＞0）
式中的尖括号＜ ＞表示其中的数字向下取整。这个公式可能不是经推导而来的，好象是一个经验公式。因为一直没有看到赫渥特的推导过程（也可能根本就没有），也看不到后人的推导过程。赫渥特当时已经证明了χ（S1）≤7，的确也有一个完全图K7是可嵌入亏格为1的曲面（环面，轮胎面）上的。而对于别的亏格的曲面Sn，还没有找到一个对应的完全图Kn能嵌入其上。由于赫渥特本人不能对他的图进行4—着色，所以他只好在他的公式后面附加了一个约束条件（n＞0）。然而，证明该公式对于所有的正整数n都成立，又花去了78年。到了1968年林格尔和杨斯给出了顶点数为v的完全图的亏格亏n的公式后，才得到彻底解决。
2、林格尔和杨斯给出的顶点数为v的完全图的亏格公式是
    n（Kv）＝[（v－3）（v－4）/12]  （v≥3）
式中的方括号[ ]表示其中的数字向上取整。这个公式是如何推出的，一直也没有看到过推导过程，估计也是一个经验公式。后来，人们就利用该公式来证明赫渥特的着色公式。正如沙特朗所说：“我们发现，定理χ（Sn）≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞ （n＞0）中的等式证明依赖于n（Kv）＝[（v－3）（v－4）/12]（v≥3）的一个公式。这就是花费如此长时间和如此多的努力而得到的结果。”沙特朗为证明χ（Sk）＝＜（7＋√（1＋48k））/2＞，而寻找一个色数是v＝＜（7＋√（1＋48k））/2＞且能嵌入到Sk上的完全图Kv的。证明了该完全图Kv的亏格n（Kv）至多为k，从而证明了Kv能嵌入到Sk上。哈拉里和韦斯特也都是用林格尔公式来证明赫渥特公式的。这样的证明对不对，我们在谈了林格尔公式与赫渥特公式的关系后再评论。
3、林格尔公式与赫渥特公式的关系
现在我们先从任意图中边与面的关系式3f≤2e中得出f≤2e/2，并代入到多阶曲面上图的欧拉公式v＋f－e＝2（1－n）（式中v、f、e、n分别是图的顶点数、边数，面数和亏格数）中，得e≤3v－6（1－n），这就是多阶曲面上的图顶点与边的关系。再把完全图的边与顶点的关系e＝v（v－1）/2代入其中得v2－7v＋12（1－n）≤0。这个一元二次不等式中有两个未知数v（完全图的顶点数）和n（完全图的亏格），当n确定后就可求出v，当v确定后，也可求出n。
若求v，就得解关于v的一元二次不等式得正根是v≤（7＋√（1＋48n））/2。由于图的顶点数必须是整数，所以上式还得向下取整，得v≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞；又因为完全图的色数就等于其顶点数，即γ完＝v，所以又有γ曲≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞。这就是赫渥特的多阶曲面上的地图着色公式。
若求n，则把v2－7v＋12（1－n）≤0的形式再变形得v2－7v＋12≤12n，则有n≥（v－3）（v－4）/12（v≥3）。由于曲面的亏格是整数，所以上式还得向上取整得n≥[（γ（v）－3）（γ（v）－4）/12]（v≥3），说明该完全图是可以嵌入到所有大于等于n的亏格的曲面上的；因为图的亏格是其可嵌入的曲面的最小亏格，所以上式中的不等号就可以改写成等号得n＝[（γ（v）－3）（γ（v）－4）/12]（v≥3）。这就是前面提到的林格尔公式。
由于这两个公式来源于同一个一元二次不等式，是同一公式的两种不同的表达形式，其二者还是可经相互转换的。所以用林格尔公式来证明（实际上是验证）赫渥特公式是多余的。赫渥特的公式是经过严密的数学推导而来的，是不需要进行证明的。
4、结论：
过去，不知道赫渥特公式是怎么得来的，就必须要用大量的实践去进行验证，但由于曲面上的图很难画，所以就一直过去了78年，才由林格尔给出了林格尔公式，这样就认为证明了赫渥特公式。但实际上两公式都是直接经严密的数学推导而来的，各有各的用处，都可以直接应用，并不需要相互证明。现在的关键是，数学界还不认为赫渥特公式是可直接推导出来的，对于任何亏格的图都应是适用的。而总在认为赫渥特图还不能4—着色，把亏格为0的平面图排斥在外，这是不对的。他们也不看一看，有多少的爱好者早已把赫渥特图进行了4—着色，也早已把具有赫渥特图型的“九点形”构形和米勒图构形进行了4—着色，证明了这些构形都是可约的。科研领域里的这一不良的现象是急待解决的一个大问题。

雷  明
二○一五年十二月二十日于长安

注：此文已于二○一五年十二月二十日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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