试证序列 11，111，1111，11111，.... 中每项都不是完全平方数

elim · 发表于 2015-12-22 07:56

wangyangke · 发表于 2015-12-22 19:52

本帖最后由 wangyangke 于 2015-12-22 11:56 编辑

首先11，111，1111，11111不是完全平方数；
再尾数为1的数只能是尾数为1或9的数的平方；
又1111，，，1六位或六位以上的数只能是大于333的尾数为1或9的数的平方；而（，，，a00+b0+1或9）的平方=（,,,,,+2*b0或2*9*b0+1或81）其十位非1.

moranhuishous · 发表于 2015-12-22 22:05

试证序列 11，111，1111，11111，.... 中每项都不是完全平方数

反证：若
11，111，1111，11111，.... 为平方数，可设

11，111，1111，11111，.... =（a+1）^2=a^2+2a+1
10,110,1110,11110,...=a(a+2)（a,a+2均为偶数）
这这只有两种情况，a=0,或a+2=0（末位数），
设a=0(末位)，则a+2也必为偶数，而
10,110,1110,11110,.../a=1是奇数
毕。

moranhuishous · 发表于 2015-12-22 22:07

此时只能有

10,110,1110,11110,.../a=1（末位）是奇数

任在深 · 发表于 2015-12-22 23:25

本帖最后由任在深于 2015-12-22 23:33 编辑

老师您好！
         您的提问不严密！不科学！不符合大自然法则！！
         所以导致本论坛（2）（3）楼最优秀的二位学者答非所问！！！！
         这也是现代数学界普遍存在的问题！根本问题！原则性的问题！！！！！
鄙人不才，略说一二：
   如果老师指的是自然数：1. 11,111,1111,11111，...因为它们表示的只是点，即位置是没有大小的！
   如果老师表示的真实数：2.√11，√111，√1111，√11111...表示线段是基本单位，是由比例关系的！
                                          3.(√11)^2=11",(√111)^2=111"...表示面积是单位，也是有比例关系的！
  显然俺已经回答了您所提出的问题了。

   其中高教的数学教材中也不泛出现此类问题

   如：求下列方程组的解

            X+Y+Z=3
            X^2+Y^2+Z^2=3
            X^3+Y^3+Z^3=3
这其中就有概念上的原则性错误！
老师知否？

         学生不才，献丑了！
                                                欢迎批评指教！

ccmmjj · 发表于 2015-12-23 01:25

3楼的证明虽不中，亦不远矣。这个问题在25年前我还在数学系念书的时候做过推导。当时得出一个结论，“所有个位数和十位数都是奇数的整数都不是完全平方数”。而这个数列只是个推论。它的证明也极简单，和３楼有点相像。呵呵，elim可以写出来么？

elim · 发表于 2015-12-23 04:22

对奇数 n = 2k-1 有 n^2 = 4(k^2 - k) +1 ≡ 1 mod(4)

即奇完全平方数皆为4的整数倍加1.

但对 n≥ 1, 1+10+…+10^n ≡ 11 ≡ 3 mod(4),

即奇数 1…11 = 1+10+…+10^n 皆为4的整数倍加3。故不是完全平方数。

moranhuishous · 发表于 2015-12-23 07:22

三楼不过“急就章”矣，还是“主任”说的靠谱，尽管没见到他证明过一道题^ _ ^

moranhuishous · 发表于 2015-12-23 07:22

三楼不过“急就章”矣，还是“主任”说的靠谱，尽管没见到他证明过一道题^ _ ^

moranhuishous · 发表于 2015-12-23 07:51

三楼不过“急就章”矣，还是“主任”说的靠谱，尽管没见到他证明过一道题^ _ ^

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