用同化理论证明四色猜测（修改稿）

雷明85639720

用同化理论证明四色猜测（修改稿）
雷  明
（二○一五年十二月十日）

【摘  要】从平面图的最小完全同态的顶点数都不大于4证明了四色猜测是正确的。
【关键词】四色猜测  最大团  密度  同化  最小完全同态  色数  饱和道路  不可同化道路  联  

把图中不相邻顶点凝结在一起的“收缩”过程叫“同化”，用以区别相邻顶点间的收缩。任何图同化的最后结果都会得到一个顶点数最少的完全图，该完全图就叫图的最小完全同态。该最小完全图同态的顶点数就是图的色数。

饱和道路：任何图中都一定有一个顶点数最多的团Kω，叫该图的最大团。该团的顶点数ω就叫该图的密度。如果图中某最大团外有一条道路，若在该道路与该最大团间再增加一条边时，图的密度就会增大，把这样的道路就叫饱和道路。如图1。
为了图面的清晰，图1中只画了道路Pn的两个端点顶点和最大团Kω中的一个K2团，其他的顶点和边均未画出（省略了的边是Pn中各顶点到Kω中其他的ω－2个顶点间的边，以及最大团中其他ω－2个顶点之间的边）。图1中只要再增加任一条边，图的密度都会增大的，所以这条道路就叫“饱和道路”。
不可同化道路：把总有一个顶点同化不到最大团中去的饱和道路叫不可同化道路。如图1，a中，当Pn的顶点数n是奇数，或图1，b中，当Pn的顶点数n是偶数时，Pn中总有一个顶点是同化不到最大团Kω中去的。
一个图中，有一条不可同化道路，就有一个顶点同化不到最大团中去，该图同化的最后结果，最小完全同态的顶点数就会成为ω＋1。图的色数就会比其密度大1。如果一个图的某个最大团外有多条不可同化道路，但这些道路之间并没有构成联时，则就只相当于一条不可同化道路，最多也只能有一个顶点同化不到最大团中去；若多条不可同化道路（如S条）之间构成了联时，由于联中的各顶点均是相邻的，不可同化的那S个顶点则因其本身就是相邻的，而不可再同化为一个顶点，所以就有S个顶点同化不到最大团中去。图同化的最后结果则一定是一个Kω＋S团。该图的色数也就是γ＝ω＋S。
由于S条道路构成的联的密度是2S，因2S是决不会大于图的密度的，所以有2S≤ω，即有S≤ω/2（如果不可同化道路的条数大于ω/2，则图的密度也就会变大，而不是ω了）。这说明了任何图的色数是不会大于图的密度的1.5倍的，即色数γ≤1.5ω。
那么，对于密度不大于4的平面图来说，只要同化的最后结果都是顶点数不大于4的完全图，那么，就可以说四色猜测也就被证明是正确的了。
对于密度是4的平面图，如果说在某最大团K4外有一条饱和道路Pn，那么这条Pn与K4共有4＋n个顶点，共有6＋3n＋1＝3n＋7条边，而4＋n个顶点的平面图最多只可能有3（4＋n）－6＝3n＋6条边，3n＋7＞3n＋6，显然这个图就不是平面图了。所以说密度是4的平面图中不可能有饱和道路，当然也就更不可能有不可同化道路了。所以密度是4的平面图同化的最后结果只能是一个顶点数为4的完全图K4。
对于密度小于4的平面图来说，显然是不可能有两条有联存在的不可同化道路的。因为两条道路的联的密度本身就是4，比图本身的密度还要大了。所以说密度小于4的平面图即就是有不可同化道路，最多只能是一条，图同化的最后结果只能是K4或K3或K2，都是顶点数小于4的完全图。
从上面可以看出，任意平面图同化的最后结果都是一个顶点数不大于4的完全图。完全图的色数就等于它的顶点数；图的色数也等于其最小完全同态的顶点数；所以也就有任何平面图的色数都是小于等于4的结论。这就证明了四色猜测是正确的。
再用γ≤1.5ω来检验一下，ω＝1时，γ＝1＜4，也小于1.5ω＝1.5；ω＝2时，γ＝2或3，都小于4，也都不大于1.5ω＝3；ω＝3时，γ＝3或4，也都小于等于4，也都小于1.5ω＝4.5；ω＝4时，γ＝4≯4，也小于1.5ω＝6。这也就说明任何平面图的色数不但是小于等于4的，并且也都是不会大于其密度的1.5倍。

雷  明
二○一五年十二月十日于长安

注：此文原文已于二○一五年十二月十日在《中国博士网》上发表过，网址是：

修改后又于二○一五年十二月二十三日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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