不存在最小五色地图的证明（修改稿）

雷明85639720

不存在最小五色地图的证明（修改稿）
雷  明
（二○一五年十二月六日）

【摘  要】用两种方法证明了最小五色地图是不存在的。
【关键词】地图  四色猜测  最小五色地图  区域  欧拉公式

按照坎泊的思想，如果不存在五色地图，则四色猜测就是正确的。要证明不存在五色地图，就只要证明不存在最小五色地图就可以了。
1、反证法证明：
最小五色地图就是地图中只有五个区域，且每两个区域都是相邻的地图。由于每一个区域都与其他的四个区域外相邻，所以每个区域就有四条边界线，五个区域共有二十条边界线，但每条边界都是两个区域所共有，所以该最小五色地图实际只有十条边界线（即图的边数e＝10）。由于地图是一个3—正则图，所以有3v（顶点数）＝2e（边数），把最小五色地图的边数e＝10代入其中，得到的顶点数v＝20/3，不是整数，这是不符合实际的。否定假设，说明了我们假设的最小五色地图是不存在的。这也就证明了地图四色猜测是正确的。
2、解方程法证明：
地图中的每一个区域都与别的f－1个区域相邻，即每一个区域都有f－1条边界线，f个区域的总共有f（f－1）条边界线。因为每条边界线都是两个区域所共有的，而在这f（f－1）条边界线中每条边界线都是计算了两次的，则这个地图中的实际“边界线”的总条数（即图中的边数）应是e＝f（f－1）/2。又因为地图是一个3—正则图，即每一个顶点都连接着3条边（即所谓的“三界点”），所以该地图的总边数也可以写成e＝3v/2，从而有3v＝2e＝f（f－1）的关系。
用区域数（即面数）f来表示顶点数v和边数e，则有v＝f（f－1）/3和e＝f（f－1）/2。把v和f同时代入到平面图的欧拉公式v＋f－e＝2则得到
f2－7f＋12＝0
解这个关于f的一元二次方程得两个正根分别是
        f＝4和f＝3
两个根都是小于5的。这就证明了最小五色地图是不存在的，当然五个国家两两相邻的情况也是不存在的。这也就证明了地图四色猜测是正确的。

雷  明
二○一五年十二月六日于长安

注：此文原文已于二○一五年十二月六日在《中国博士网》上发表过，网址是：

修改后又于二○一五年十二月二十三日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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