F 是椭圆焦点，A 是椭圆内一点，求作椭圆上一点 P，使 PA+PF （1）最小（2）最大

ccmmjj · 发表于 2015-12-25 00:45

本帖最后由 luyuanhong 于 2015-12-26 13:48 编辑

作图题：Ｆ是椭圆的焦点，Ａ是椭圆内一点。求作椭圆上的一点Ｐ，
（１）使ＰＡ+ＰＦ最小，（2）使ＰＡ+ＰＦ最大。

elim · 发表于 2015-12-25 02:25

好题！

风花飘飘 · 发表于 2015-12-25 05:14

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云影随风 · 发表于 2015-12-25 23:29

这题似是以A、F点为焦点，作原椭圆的内切和外切椭圆，内切点是最小处，外切点是P点最大处。

luyuanhong · 发表于 2015-12-26 11:22

ccmmjj · 发表于 2015-12-26 12:28

陆老师的解答很好。我补充说一点，这可以用光行最短原理做思路导引。

shuxuestar · 发表于 2015-12-28 13:38

本帖最后由 shuxuestar 于 2015-12-28 13:46 编辑

光行极值解法:

ccmmjj · 发表于 2015-12-28 17:20

楼上象是港台网友，爱用繁体字。解释的还算很有意思，配图也很漂亮。“光行最短原理”是17世纪的一个科学哲学观点，当时的科学家们认为大自然是不浪费的，所以提出了这个原理（物理上还有类似的原理），最有名的是用它来解决过最速降线问题和光的折射定律的推证。
我思考过椭圆中任意两点的情况，可以想见需要找到一点Ｐ，使过Ｐ的切线与Ｐ和这两点连线等角，但这似乎是不过作图的，即我还没找到它的尺规作图法，楼上若有兴趣，研究一下，若有结论，相互交流一下。
最后建议版主陆教授将楼上贴子移到“陆元鸿老师的《数学中国》园地”以完整。

shuxuestar · 发表于 2015-12-28 22:54

ccmmjj 发表于 2015-12-28 17:20
楼上象是港台网友，爱用繁体字。解释的还算很有意思，配图也很漂亮。“光行最短原理”是17世纪的一个科学哲 ...

以前看过经典光学书,所以略知一二. 光传播遵守光程最短原理(传播时间极值), 为经典光学公理之一.
教材中更普遍的说法是光有时不一定走最短程,而是对应极大值或极小值.这是更为普遍一些的光学原理.
如在椭圆内反光就是典型情形.

shuxuestar · 发表于 2015-12-31 00:19

本帖最后由 shuxuestar 于 2015-12-31 00:35 编辑

椭圆内任意两点问题很难,因为二次曲线除了圆,一般尺规作图作变量不一定能办到.

根据椭圆的几何性质可知矢径为椭圆界面最短程,矢径与法线夹角相等,类似反光路径.应用此方法可将楼主的问题简单化.

题设两点假定为另一构造椭圆的焦点,二椭圆相切点即所求点.

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风花飘飘风花飘飘当前离线积分 23006 IP卡狗仔卡	发表于 2015-12-25 05:14 \| 显示全部楼层提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽
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