平面图的构形，不可免构形和不可免构形集

雷明85639720

平面图的构形，不可免构形和不可免构形集
雷  明
（二○一六年元月五日）

在用数学归纳法证明四色猜测时，首先是假设除了一个顶点以外的其他所有顶点都着上了四种颜色之一，且没有相邻顶点着同一颜色的情况，即符合四色猜测。然后，再通过使用坎泊所创造成的颜色交换技术，看剩下的这一个顶点能否着上图中已用过的四种颜色之一。能着上，该图就可4—着色，否则就不可4—着色。当然只要有一个这样的不可4—着色的平面图，四色猜测就是不正确的了。
现在我们先不说什么是构形，也不说什么是不可免构形，而先从平面图的不可免构形集说起。
图中的任何一个顶点都是与若干个顶点相邻的，即有边相连。而在任何平面图中都一定至少存在着一个这样的顶点，该顶点的度是小于等于5的。也就是说，一个图中如果不存在度小于等于5的顶点，这个图一定不是平面图。或者说，这些顶点在任何平面图中是不可避免的。这已经是通过证明是正确的结论了。若把度小于等于5的顶点所构成的集合，就叫平面图的不可避免度集，或不可避免顶集。再用d表示顶点的度，则该集合中的元素是：{ d0，d1，d2，d3，d4，d5 }或者{ 0度顶，1度顶，2度顶，3度顶，4度顶，5度顶 }。由这些顶点及其相邻顶点所构形的分子图，就是平面图的不可避免的构形；而由这些不可避免的构形所构成的集合，就是平面图的不可避免构形集。
在给平面图着色时，我们总是可以把图中不可避免的、度小于等于5的顶点放在最后，作为待着色的顶点，看其是否可以着上图中已用过的四种颜色之一。这样，就可以把度可以是无限大的无限多个顶点，减小成只有度为小于等于5的六种顶点。把一个无限的问题，转化成为一个有限的问题了。就可以在证明四色猜测时，只对把具有以上六种度的顶点作为待着色顶点时，看其是否可以着上图中已用过的四种颜色之一就可以了。若六种顶点都可以着上四种颜色之一，则四色猜测就是正确的；否则，若有一种不能着上四种颜色之一时，则四色猜测就是不正确的。
一个顶点连同它的相邻顶点可能构成星形图，也可能构成轮形图，还可以构成半星半轮图，但以轮形图用色是最多的，所以我们也把以以上的六种顶点为中心顶点的轮形图（团）叫平面图的不可避免构形集。其中的元素是：{ 0—轮（即K1），1—轮（即K2），2—轮（即二重K3，即有一条平行边的K3图），3—轮（即K4），4—轮，5—轮 }。由于地图中有“两国夹国”的情况（如蒙古国地图），该地图的对偶图就是一个二重的K3图，是有一条平行边的K3图，即2—轮。地图的对偶图是一个极大图，其中每一个顶点都是一个轮的中心顶点。极大图中是存着2—轮的构形的。
现在再谈什么是平面图的构形。平面图的构形是在证明四色猜测过程中提出的，是与着色有关的。所以说平面图的构形就应是中心顶点未着色的轮。平面图的不可避免构形则是未着色的中心顶点的度是小于等于5的轮。平面图的不可避免构形集就是未着色的中心顶点的度是小于等于5的轮构成的集合。
从这种意义上看，平面图的构形只能有一个待着色顶点，其他的有多待着色顶点的构形都是站不住脚的。也不能用任何别的构形来代替5—轮构形。除了这这六种不可避免的构形外，其他的构形都不是不可免的了。
坎泊所说的一国与两图相邻，一国与三国相邻，一国与四国相邻和一国与五国相邻，是地图中国与国不可避免的相邻关系，它们的对偶图就是2—轮，3—轮，4—轮和5—轮，对于平面图的顶点着色来说，再加上0—轮（即K1）和1—轮（即K2），就是前面的六种元素构成的平面图的不可避免构形集。所谓的（5，5）构形与（5，6）构形是不可免构形集，是不符合坎泊的这一对不可免构形的定义的。（5，5）构形与（5，6）构形是不可免构形，是没有经过证明的。阿贝尔的用所谓放电理论的证明是站不住脚下的。
坎泊过去对四色猜测证明中的漏洞，目前已经有许多爱好都经过证明，说明5—轮构形是可约的，已经补上了这个漏洞。应该说四色猜测已得到证明是正确的了。补上了坎泊的这一漏洞的爱好者有雷明，张彧典，董德周，刘福，郑每等。
雷  明
二○一六年元月五日于长安

注：此文已于二○一六年元月五日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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