一个游戏币玩一次，赢一次可得两个游戏币，每次赢的概率为 2/3 ，求玩到 5 次的概率

天山草

清华龙校是为清华附中输送生员的培训、选拔机构。今年初，在其试题中有一道概率问题：
小明玩某款手机游戏，每玩一局时，需要先消耗1个游戏币才能开始游戏。每局如果游戏挑战失败，则此局游戏立刻结束；如果挑战成功，则奖励2个游戏币。奖励的游戏币可累积、并可供继续游戏。已知小明每局挑战成功的概率为2/3，若开始他只有1个游戏币，则他能玩上第5局的概率是多少？

分析：小明闯过第一局、进入第二局的概率是 2/3，他此时有 2 个游戏币了， 在第二局，他连续玩两次都失败的概率是1/3 的平方，即1/9，因此他闯过第二局、进入第三局的概率是 8/9，对否？他开始玩第三局时，手中平均有几个游戏币呢？
       不会做，做不下去了……。

酱油的瓶子

27分之16。你用树状图把每种情况都画出来就很容易解了。

luyuanhong

题 一个游戏币玩一次，赢一次可得两个游戏币，每次赢的概率为 2/3 ，求玩到 5 次的概率。

解  可反向思维，考虑不能玩到 5 次的概率。

    不能玩到 5 次，只有下列两种情况：

（1）第一次就输，概率为 1/3 。

（2）第一次赢，得到两个游戏币，然后第二、第三次都输，概率为

              (2/3)×(1/3)×(1/3) = 2/27 。

    所以，不能玩到 5 次的概率为 1/3 + 2/27 = 11/27 。

    能玩到 5 次的概率为 1 - 11/27 = 16/27 。

天山草

谢谢陆教授的解答。不过我没有弄明白的是：
      原题里说的是“第5局”， 好像不等同于第5次吧。我理解不同的局就是不同的关，其玩的内容也许是不一样的，但是通过每一关的概率都是 2/3。这样的话，即使第1次，第2次、第3次都赢了，并不能保证可以进入第5局。
     比如说，第1次赢了有2币，用1币进第2局（余1币），第2次也赢了有3币，用1币进第3局（余2币），第3次仍赢有4币，用1币进第4局（余3币）。第4次输了，有3币，用1币仍玩第4局（余2币），第5次也输了，有2币，用1币仍玩第4局（余1币），第6次还是输，有1币，用1币仍玩第4局（余0币），这最后的第6次最终也输了，也没有币了，就不能进入第5局了。

luyuanhong

题目中说的“局”，应该就是“次”的意思。

天山草

luyuanhong 发表于 2016-1-18 10:05
题目中说的“局”，应该就是“次”的意思。

噢，“局数”就是“次数”，估计出题者也是这个意思，但是用词可能不到位，引起了误解。我就说么，若“局数”不等于“次数”，小学生哪能做得出呢？估计大学生也难做。反正目前我是做不出来。不过我写了一个程序，算出晋升到第五局（第五关）的概率约为 0.53。不知精确理论值是多少？

       为了避免误解，以后将 “局数” 改为 “关数”，就是说，可能需要玩几次才能挑战成功一关。
       程序如下，请各位指正。

   ' 小明玩某款手机游戏，每玩一次时，需要先消耗 1 个游戏币才能开始游戏。每次如果游戏失败，又没有游戏币了，则游戏立刻结束；
     ' 如果该次玩成功，则奖励 2 个游戏币，并可进入下一关。奖励的游戏币可累积、并可供继续游戏。
     ' 已知小明每玩一次成功的概率为 2/3，若开始他只有 1 个游戏币，他能闯进第 5 关（这算挑战成功！）的概率是多少？
     ' 本程序运行结果：0.541

    '  摘录一次实际运行的结果： 概率是 0.54104， 每玩一次赢的概率为 0.66662（随机数发生器实际数据）
     
     Private Sub form_Click()
     
     Randomize     '启动随机数发生器
     aa = 0: bb = 0  '统计每玩一次，赢的概率是否等于三分之二
     k = 2000000     '共有 k 个人玩，统计有多少个人能玩到第 5 关
     p5 = 0        '能闯进第 5 关的人数
     For j = 1 To k  ' 换另一个人玩
     s = 1         ' 开始有一个游戏币
     w = 1         ' 第一关
     For i = 1 To 100000   ' 某一个人可能玩的次数：实际上玩不到这个次数，早就分出胜负了。
      s = s - 1            '花一个游戏币开始玩某一次游戏
a = Int(10000000 * Rnd)   '产生 1 至 9999999 之间的随机整数
         
      If a > 3333333 Then      
         
      If a > 33 Then    '该次游戏赢：1 至 3333333 为输
         aa = aa + 1    ' 测试有多少次输，也就是验证随机数产生得是否正确
         s = s + 2      '本次玩赢了，奖励 2 个游戏币
         w = w + 1      '晋升到下一关
           If w = 5 Then  '闯进了第 5 关
             p5 = p5 + 1  '进入第 5 关的人数加 1
             GoTo 20      '如果进入第 5 关，此人就算胜利，另换一个人玩
            Else          '如果还没有进入第 5 关
             GoTo 10      '继续玩下一关
           End If
        Else            '该次游戏输了
         bb = bb + 1    ' 随机数的范围在 1 至 3333333
         If s = 0 Then
           GoTo 20      '没有游戏币了，就结束，换另一个人玩。
           Else         '还有游戏币
           GoTo 10      '还有游戏币，就继续玩本关（因为 w 不变）。
         End If
      End If
10:   Next i            '某个人继续玩下一次：如果上一次他赢了，就进入下一关；如果上一次他输了，就继续玩本关。
20:   Next j            '换另一个人玩
      
      p = p5 / k        '全部 k 个人都玩过了，统计有多少个人玩上了第 5 关，也就是计算能玩上第 5 关的概率。
      Print "检验随机数发生器设置是否正确，即玩一次，赢的概率是否是2/3: ";: Print Format(aa / (aa + bb), "0.#####")
      Print "能闯进第 5 关的概率为：";: Print Format(p, "0.#####")
      
      End Sub
     
     
      

天山草

下面把题目文字略改几个字，看看怎样做此题。
  小明玩某款手机游戏，每玩一次时，需要先消耗1个游戏币才能开始游戏。每次如果游戏失败，又没有游戏币了，则游戏立刻结束；
  如果该次玩成功，则奖励2个游戏币，并可进入到下一关。奖励的游戏币可累积、并可供继续游戏。
  已知小明每次玩成功的概率为2/3，若开始他只有1个游戏币，他能闯进第 5 关（算挑战成功！）的概率是多少？

【说明】举个例子说明题目的意思：如果小明前 3 次都玩成功了， 就得到 4 个游戏币，他可再花 1 个币进入到玩第 4 关， 但此后他运气不佳， 一连玩了几次全都失败，最后输光了以前赢得的所有游戏币，也终于没能玩上第 5 关。这算挑战失败！

大傻8888888

     小明闯过第一局、进入第二局的概率是 2/3，他此时有 2 个游戏币了， 在第二局，他连续玩两次都失败的概率是1/3 的平方，即1/9，因此他闯过第二局、进入第三局的概率是 8/9，进入第三局时他手上有4 个游戏币或者2 个游戏币,有4 个游戏币他连续玩四次都失败的概率是1/3 的四次方是1/81,则进入第四局的概率是80/81,而有2个游戏币进入第四局的概率是8/9,这样由第三局进入第四局总的概率是88/90。这样小明以 (2/3)×(8/9)×(88/90) = 704/1215  的概率完成第四局也就是他能玩上第5局的概率。
      以上解答不知是否正确?还望大家批评指正,共同商榷!

天山草

按照原题，只能把第几局理解为第几次。因此陆教授及2楼的解答是正确的。就是能玩上第5局（第5次）的概率是 16/27。因为若能通过第1局，则得到2个游戏币，至少能玩到第3局。如果第2局和第3局都败，则玩不上第5局；如果第2局、第3局不全败，则一定能玩上第5局。（假如第2局败，还剩1个币，用来玩第3局，若胜，得到2个币，即使第4局败，也还有1个币用于玩第5局。假如第2局胜，则有3个币，可用于玩3、4、5局）。
      现在的问题是——
      如果把题目的意思改一改，把玩上第5局改成第5关，每玩一次，若赢则晋升到下一关，若输，则下一次玩时还要停留在本关，直到赢才能晋升到下一关。
      与原题不同的地方是，若有5个游戏币，按原题，一定能玩到第5局（关）。按修改后的意思，能玩5次没问题，但能否升到第2局（关），那就不一定了。更不用说升到第5局（关）了。

云影随风

第四关过关有14种可能：
1111
1112
1113
1114
1121
1122
1123
1131
1132
1211
1212
1213
1221
1222
位数表示关数，数字表示过关时是第几币。
概率不知咋算了，每一种过四关的胜率都是16/27，加起来就大于1了？似乎就错了。按负率又该怎样算？每次都是1/27？总的又该怎样算？