在从左下角 A 到右上角 B 由 9 个 → 和 ↑ 组成的路径中任取一条，求转弯数的期望值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

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在每一条从 A 到 B 的路径上，共有 17 个可能的转弯处。

在每一个可能的转弯处，有转弯的概率为 9/17 。

设 Xi 是在第 i 个可能的转弯处的转弯的个数。

显然 Xi 只能取两种值：Xi=0 或 Xi=1（分别表示在此处无转弯或有转弯）。

Xi=1 的概率为 P{Xi=1}=9/17 ，Xi=0  的概率为 P{Xi=0}=1-9/17=8/17 。

Xi 的期望值为 E(Xi)=1×P{Xi=1}+0×P{Xi=0}=1×9/17+0×8/17=9/17 。

设 Y 是在一条从 A 到 B 的路径上的转弯的个数，显然有

            Y=X1+X2+…+X17 。

因为“随机变量之和的期望值，等于随机变量期望值之和”，所以，

从 A 到 B 的路径上的转弯个数的期望值为

       E(Y)=E(X1+X2+…+X17)=E(X1)+E(X2)+…+E(X17)

           =9/17+9/17+…+9/17=17×9/17=9 。

注：上述推导中，没有用到“独立同分布 Bernoulli 随机变量之和服从二项分布”

的结论，而是用到了“随机变量之和的期望值，等于随机变量期望值之和”，

而这一条性质，不管随机变量独立还是不独立，都是能够成立的。

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（1）在每个可能发生转弯处，并非可以用同样概率随机选择“转弯”“不转弯”。

   所以，不能认为有 P{Xi=1}=1/2 ，P{Xi=0}=1/2 。

（2）在每个可能发生转弯处，发生转弯的概率应该为 P{Xi=1}=9/17 。

    这一概率是怎样算出来的？请参看我在上面第 3 楼中的推导。

（3）在每个可能发生转弯处的转弯个数 Xi 只能取两个值：0 或 1 。而且有

           P{Xi=1}=9/17（转弯），P{Xi=0}=1-9/17=8/17（不转弯）。

     可见 Xi 服从参数为 p=9/17 的 Bernoulli 分布。

（4）在整个路径上的转弯个数 Y ，等于 17 个可能转弯处的转弯个数之和，即有

            Y=X1+X2+…+X17 。

（5）虽然每个 Xi 都服从相同的 Bernoulli 分布，但是，不能认为它们相加之和

Y=X1+X2+…+X17 就一定服从二项分布，因为只有独立同分布的 Bernoulli 分布

之和才服从二项分布，而在各个可能转弯处的转弯个数 X1,X2,…,X17 并不相互独立。

    为什么不独立？假设 X1,X2,…,X17 相互独立，则在 X1=X2=…=X8=0 的情况下，

X9 应该不受影响，仍应该有 P{X9=1}=9/17（转弯）和 P{X9=0}=8/17（不转弯）。

而事实上，当 X1=X2=…=X8=0 时，也就是前面 8 处都不转弯的情况下，路径已经

一直延伸到了方格的角落处，下一步必须转弯，所以这时 X9 必须取值为 1 ，即必须

有 P{X9=1}=1 ，不能有 P{X9=1}=9/17 。由此可见，X1,X2,…,X17 并不独立。

   因为 X1,X2,…,X17 并不相互独立，所以不能说 Y=X1+X2+…+X17 服从二项分布。

（6）事实上，Y=X1+X2+…+X17 确实不服从二项分布。由我在第 2 楼中的推导可知，

在整个路径上恰有 k 个转弯的概率，即 Y=k 的概率为

     P{Y=k}=2C([k/2],9)C([(k-1)/2],8)/C(18,9) ，k=1,2,…,17 。

   这个分布，显然不是二项分布。

（7）虽然整个路径上的转弯个数不服从二项分布，但是它的期望值仍然可以等于 9 。

   因为各个可能转弯处的转弯个数 Xi 的期望值都等于 E(Xi)=9/17 ，而“随机变量之和

的期望值，等于随机变量的期望值之和”（这条性质 ，当随机变量不独立时也成立），

所以， Y=X1+X2+…+X17 的期望值为

   E(Y)=E(X1+X2+…+X17)= E(X1)+E(X2)+…+E(X17)

             =9/17+9/17+…+9/17=17×9/17=9 。