一游戏币可玩一次，赢的概率为p，赢一次可入下一关并得到两游戏币，求进入n+1关的概率

天山草 · 发表于 2016-1-25 14:07

本帖最后由 luyuanhong 于 2016-2-11 11:15 编辑

小明玩某电脑游戏，每玩一次时，需要先消耗1个游戏币才能开始游戏。每次如果游戏失败，又没有游戏币了，则游戏立刻结束；
如果该次玩成功，则奖励2个游戏币，并可进入到下一关。奖励的游戏币可累积、并可供继续游戏。
已知小明每次玩成功的概率为2/3，若开始他只有1个游戏币，他能闯进第 5 关的概率是多少？闯进第 10 关的概率是多少？

【说明】举个例子说明题目的意思：如果小明前 3 次都玩成功了，就得到 4 个游戏币，他可再花 1 个币进入到第 4 关，但此后他运气不佳，
一连玩了几次全都失败，最后输光了以前赢得的所有游戏币，也终于没能玩上第 5 关。这算没能闯进第 5 关！

天山草 · 发表于 2016-1-25 14:11

本人算出的能通过第五关的概率是： 1184/2187 ≈ 0.541380887……
但是没有得到一般公式解。如果想知道通过第 10 关的概率，没有公式的话，还得重新计算。因此希望有一个一般公式解。

天山草 · 发表于 2016-1-27 20:49

本帖最后由天山草于 2016-1-30 22:25 编辑

目前只算到进入第2、3、4、5 、6 关的公式：

天山草 · 发表于 2016-1-30 22:49

本帖最后由天山草于 2016-1-30 22:58 编辑

编程模拟结果：

   进入第 3 关的概率约为 0.59247，理论值是 0.592592592
   进入第 4 关的概率约为 0.55967，理论值是 0.559670781
   进入第 5 关的概率约为 0.54133，理论值是 0.541380887
   进入第 6 关的概率约为 0.53019,  理论值是 0.530000508
   进入第 7 关的概率约为 0.52251,  理论值是 ?
   进入第 8 关的概率约为 0.51698,  理论值是 ?
   进入第 9 关的概率约为 0.51319,  理论值是 ?
   进入第10 关的概率约为 0.51037, 理论值是 ?
   进入第11 关的概率约为 0.50825, 理论值是 ?
   进入第12 关的概率约为 0.5066, 理论值是 ?
   进入第13 关的概率约为 0.50556, 理论值是 ?
   进入第14 关的概率约为 0.50407, 理论值是 ?
   进入第15 关的概率约为 0.50356, 理论值是 ?
      ……………………………………………………
   进入第100 关的概率约为 0.49936, 理论值是 ?

qingjiao · 发表于 2016-1-31 11:15

说个思路吧：

如果小明闯进第n关，那么他完成第n-1关时，至少还有1个游戏币，至多还有1+2(n-2)-(n-1)=n-2个游戏币。
如果他在第n关前截止，那么他有0个游戏币，得到和付出的游戏币总数都是1+2(n-2)个。

由分析游戏币分布情况决定他的过关数，任何一关所得游戏币都是不同的。

深入的分析太伤脑筋了，不想了，呵呵。

天山草 · 发表于 2016-1-31 14:11

从第 4 楼的数据看，似乎随着 “关” 数的增加，概率有极限 0.5 ？

天山草 · 发表于 2016-1-31 14:14

另外，第 3 楼括号中的多项式系数，它构成的数列，可能很有趣。如果能找到此数列的通项公式，问题就解决了。

luyuanhong · 发表于 2016-1-31 19:01

本帖最后由 luyuanhong 于 2016-2-1 16:47 编辑

天山草 · 发表于 2016-2-1 13:52

本帖最后由天山草于 2016-2-1 13:53 编辑

太佩服陆教授了！按陆教授的解答结果，先对第 6 关验证了一下，完全正确。这道题也发在国内的数学研发网站上，那里的版主们有几位高手，全没给出解答。

天山草 · 发表于 2016-2-4 23:48

当 n 趋向无穷大时，概率趋向 0.5

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