趣味数学－整数的两分积之和

ccmmjj

把一个正整数，分成两个小的正整数和，计算它们的积。然后再将它们分开，计算积。证明：这些积的和是一个定值。

5的例子：5＝４+1，积４×1＝4。４＝２+2，２×２＝4。２＝1+1，１×1＝1。２＝1+1，１×1＝1。对这种分开积的和是４+４+1+1＝10.
　　　　　5＝４+1，积４×1＝4。４＝3+1，3×1＝3。3＝2+1，2×1＝2。2＝1+1，1×1＝1.对这种分开积的和是４+3+2+1＝10.
　　　　　5＝3+2，积3×2＝6。3＝2+1，2×1＝2。2＝1+1，1×1＝1.2＝1+1，1×1＝1。对这种分开积的和是6+2+1+1＝10.

这是我无聊时想的，才花半小时就解决了，这里有哥猜，黎猜，角谷的高手，不妨动动脑筋。

ccmmjj

公开一半答案。首先用Ｃ（n）来表示整数n的分拆积的和。现在题目就变为证明对n不同的拆法，Ｃ（n）是固定的值。于是C(1)=0,C(2)=１×1＝1,C(3)=2×1+C(2)+C(1)＝2+1+0=3.这都是确定的。对４来说有两种分法，３+1或2+2，只要用心去算，就会知道：3×1+C(3)+C(1)=6, 2×2+C(2)+C(2)=6于是得C(4)=6也是固定的。当然５的例子我刚好举过，C(5)=10也是确定的。当然数越大，情况越复杂。但是只要我们仔细思考，就会推断出C(m+n)=m×n+C(m)+C(n)……(*).于是我们就要想能否得到一个C(n)的公式，使它满足（*）。这个想法是能够实现的。首先，我们每次都将这个要分拆的数x分为  (x-1)+1,于是可得n=(n-1)+1, n-1=(n-2)+1,……一直到２＝１+1，分拆积的和C(n)=(n-1)+(n-2)+……+1=n(n-1)/2。接下来就要证明对这个C(n)=n(n-1)/2满足（*）式，这只是一个验算，你们试试？

APB先生

早已考虑过这类问题；我称之为高阶分乘函数，给出过n 阶行列式，四阶行列式的:

|n  a  b  c|
|a  a  b  c|
|b  b  b  c|  =  (n-a}(a-b)(b-c)c，n为正整数，且n>a≥b≥c
|c  c  c  c|

ccmmjj

APB先生，这个行列式的计算不奇怪，不过我想问一下，你说早已考虑过这类问题，那么它和我这个问题有什么联系呢？这个行列式对你的理论来说它的实际意义是怎样的呢？还望能清楚说明。据我的分析，只有两分积的和有确定的值，而三分积的和就是不确定的，跟分法有关。

ccmmjj

剩下的八分之三。

ccmmjj

最后八分之一。关于C(m+n)=mn+C(m)+C(n)的图片解释。由１+2+……+(n-1)=n(n-1)/2得到。

APB先生

ccmmjj 发表于 2016-2-2 11:09
APB先生，这个行列式的计算不奇怪，不过我想问一下，你说早已考虑过这类问题，那么它和我这个问题有什么联 ...

是与你一次的二分而求积有关,   你是对积继续求分积；我原来也叫分积，感觉不如分乘好，就叫分乘了；刚想起，这是30多年前的事，还曾因此给陈景润去信，说我用1×1整数三角改写了哥德巴赫猜想：1×1整数三角如下：
                                   1
                                2    2
                             3    4    3
                          4    6    6    4
                       5    8    9    8    5
为了研究哥猜,  我将全体"奇数+奇数"排成1+1奇数三角;  将全体"正整数+正整数"排成1+1整数三角,  并推出1×1整数三角，而1×1整数三角的第n行第r个元素为：

（n, r）=(n-r)r=|n  r|
                       |r   r|

这里不便写行列式

一次的n维分乘函数的被分数都是确定的。二次及多次的n维分乘函数的被分数都是确定的。