期望值的定义

luyuanhong

天山草

我来做几道计算数学期望的题。以前没有系统地学过概率论，现在补补课吧。
问题取自【概率论与数理统计】第四版，浙江大学 盛骤 谢式千 潘承毅 编 （高等教育出版社）。92 页，但是题目内容有所改动：
例 3    按规定，某车站每天8:00～9:00，9:00～10:00 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两车到站的时间相互独立，其规律相同，即概率密度都是：-0.00002 + 0.000833 t + 0.0000141 t^2 - 0.000000467 t^3， 时间 t 的定义域是 [0, 60] 分钟。
一位旅客 8:20 到车站，求他候车时间的数学期望是多少分钟。
下面是第一辆车（第二辆车也同样）在 60 分钟内到站时刻的概率密度曲线：

天山草

我算出的等候时间的数学期望是 38.3781 分钟。不知对否？

天山草

如果将题目中的汽车到站时刻的概率改成均匀分布的，那么等车时间的数学期望又将是多少分钟？
在均匀分布的条件下，我算出的等候时间的数学期望是 36.6666 分钟。对否？

luyuanhong

luyuanhong

天山草

没有弄清楚哪里不对劲。先看概率密度是均匀分布的情况：
概率密度均匀分布时，密度函数是 1/60，这个没有问题。假定做了 180 次试验，就是有 180 个人参与试验，计算他们的平均等候时间。我是这样想的——
      第一辆班车在 8:20 分之前到站的概率是 1/3，因此将有 60 个人（180/3=60）不能赶上第一辆车，而只能等待第二辆车子到站。其余 120 个人能够等到第一辆车，等候时间是 0 分钟至 40 分钟不等，平均等候时间是 20 分钟。所以这 120 个人的总等候时间是 120×20=2400 分钟。
      不能赶上第一辆车的那 60 个人，先是在 9:00 之前等了 40 分钟，9:00 之后等到第二辆车的时间是 0 分钟至 60 分钟不等，平均等候时间是 30 分钟，加上之前的 40 分钟，就是 70 分钟，因此这 60 个人的总等候时间是 60×70=4200 分钟。
      全部 180 个人的总等候时间是 2400+4200= 6600 分钟。这个时间除以 180，得 36.6666 分钟。这个结果与陆教授的相同。

      如果旅客不是在 8:20 分到站等车，而是提前到 8:00 就到车站等车，那么他一定能等到第一辆班车，平均等候时间应该是 30 分钟吧？就是比 36.6666分钟少。
      当概率密度不是均匀分布，而是上述曲线时，若旅客也是提前到 8:00 就到车站等车，平均等候时间——我算出是 32.99 分钟，比 27.7 分钟多，有问题吗？
     

天山草

第二个问题，对于密度函数均匀分布的情况，若按下述方法做，有一步不合适（见图中说明），如何改进？

天山草

上一层楼的问题，也可以这样提：
若有来车的概率密度函数是常数 1/60，有一旅客在 8:20 分到站等车，那么将有三分之一的概率错过第一辆车，求：没有错过第一辆车的平均等候时间是多少分钟？
       如何用概率密度函数的方法求解？

luyuanhong

你在等第一班车所用时间的计算中，将密度 1/60 改为 1/40 是不妥当的。

虽然这样一改，最后答案不错，但这你样改，从理论上说，是没有道理的。

正确做法，密度应该仍为 1/60 ，积分区间应该是从 20 到 60 ，因为

班车是在 8:20 到 9:00 之间到达的。但是，在求期望值的积分式中，与

密度 1/60 相乘的不应该是 t ，而应该是 t-20 ，因为我们要求的是等车

时间的期望值，而 t 是班车来到的时刻。当 t=20 时，等车所用时间是 0 ，

当 t=60 时，等车所用时间是 40 ，等车时间总是要比 t 少 20 。

总之，积分区间应该是从 20 到 60 ，被积函数应该是 (t-20)/60 。

积分得到的结果是 40/3 。

这一积分的结果也不用再乘以 2/3 ，因为积分区间从 0 到 60 缩小为

从 20 到 60 ，就是缩小到原来的 2/3 的意思。

对于车到达概率密度不是均匀分布的情形，也可以用类似上述方法去做。

设已知车在 8 点 t 分钟时到达的概率密度是 p(t) ，0≤t≤60 。

因为班车在 8:20 到 9:00 之间到达，所以积分区间是从 20 到 60 。

又因为等车时间总是比 t 少 20 ，所以被积函数是 (t-20)p(t) 。

积分出来的结果不需要再另外乘以一个概率，因为积分区间从 0 到 60

缩减为从 20 到 60 ，就已经包含了乘以一个概率的意思。