在地面距离塔基 100,200,300 处测得塔顶的仰角为 α,β,γ ，α+β+γ=90°，求塔高

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

drc2000回来

以塔为中心，将300米远处，200米远处，100米远处各点旋转到通一射线上。我们回忆下这样一道平面几何题目“三个并排的正方形，求证左下角三点对最右上方点的仰角之和为90度”……容易知道所求距离为正方形边长，100米。

luyuanhong

谢谢楼上 drc2000 的解答。下面是此题的详细解答过程：

wangyangke

drc2000 老师的帖子——

drc2000回来

谢谢楼上推荐。

195912

题:在地面距离塔基100 m,200 m,300 m的A,B,C处测得塔顶的仰角为α,β,γ,已知α+β+γ=90°,求塔高?
解:设塔高DO=x，依题意有
           tanα=x/100,tanβ=x/200,
又
           DC=√(x^2+90000)
           α+β+γ=90°
所以
          cos[90°-(α+β)]=300/√(x^2+90000)
所以
          sin(α+β)=300/√(x^2+90000)
这样便有
          90000[cos(α+β)]^2=[sin(α+β)x]^2
所以
          tan(α+β)=300/x
即
           (tanα+tanβ)x/((1-tanαtanβ) )=300
所以
            (x/100+x/200) x=300[1-(x/100)(x/200)]
这样便有
             x^2=10000
所以
            x=100  
即塔高为100 m.

luyuanhong

谢谢楼上 195912 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。