空间向量的旋转问题

光圈电子科技

现有一个向量A(x,y,z) 其同时绕x、y、z轴旋转角度分别为a、b、c，求旋转后的向量A'(x',y',z') ？
我只会做绕一个轴的旋转，这样同时绕三个轴的旋转应该怎么做呢？

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

光圈电子科技

luyuanhong 发表于 2016-2-12 13:24
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

谢谢，但是这个旋转式是分旋转的先后的，但如果是同时旋转应该怎么做呢？

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

ataorj

陆元鸿老师的我还没细看,谈下我的思路:

所谓 同时绕x、y、z轴旋转角度分别为a、b、c, 这是结果,是结果分别以三个角度单独来看时的描述,就是说,可视为是三个独立旋转[三个独立旋转不一定是说是顺次连续不间断关系]
绕x轴旋转角度为a应该是说,OA和OA'在yz平面投影的夹角为a,[该独立旋转的轨迹是圆锥面的一部分,旋转终点一般并非是A',A'是三个独立旋转合成的],A,A'在yz平面投影为(0,y,z),(0,y',z'),连同a可得到一个三角形,[注意a是这个独立旋转和综合旋转在yz平面的共同投影角,三角形投影不一定共同,不一定综合的那个投影三角形等腰,但是各独立旋转的都是等腰的.]余弦定理,有方程:
(y'-y)^2+(z'-z)^2=(yy+zz)+(y'y'+z'z')-2[(yy+zz)(y'y'+z'z')]^0.5*cos(a)
同理两个方程略,应该可解出x',y',z'

ataorj

不过,一般讲,指定两个旋转角度则第三个就必然自动决定了下来,也就是说不可同时任意指定三个旋转角度
所以,我的解答可能还需要再思考...

ataorj

如图设r=OA1,容易知道,A(x,y,z)绕x轴会独立旋转至A_(x,m,n),A和A_及A'在yz平面投影依次为A1,A2,A"
m=cos(a+p)r=[cos(a)cos(p)-sin(a)sin(p)]r=cos(a)*y-sin(a)*z
n=sin(a+p)r=[cos(a)sin(p)+sin(a)cos(p)]r=cos(a)*z+sin(a)*y
可得到x轴和A2所在平面f,f上的所有点都不违反a
同理可得平面g,h,题意是说,f,g,h相交于A'
解析几何不熟练,暂时先到这儿.

ataorj

继续探索,有阶段性错误和修正...
可得到x轴和A2所在平面f,f上x轴开始朝向A2方向的那部分平面用f'表示,f'上的所有点都不违反a
同理可得平面g,h,题意是说,f',g',h'相交于A'
f上三点0,0,0),(1,0,0),(0,cos(a)*y-sin(a)*z,cos(a)*z+sin(a)*y)
将三点的坐标代入平面的一般方程
Ex_+By_+Cz_+D=0，
得到关于E、B、C、D的方程组/[一个]解
D=0
E=0
B=1
C=[sin(a)*z-cos(a)*y]/[cos(a)*z+sin(a)*y]
则f为:y_+Cz_=0 ...(1),同理有:
z_+Ex_=0 ...(2),其中E=[sin(b)*z-cos(b)*y]/[cos(b)*z+sin(b)*y]
x_+By_=0 ...(3),其中B=[sin(c)*z-cos(c)*y]/[cos(c)*z+sin(c)*y]
解[(1)(2)(3)]方程组,显然若有解,其中有一个[点]若在f',g',h'上,则该点就是题目的答案A'.
然而,我们知道,f,g,h已经有共点(0,0,0),题目若有解,则必须暂时任意舍弃一个旋转面,换句话说,指定两个旋转角度则第三个就必然自动决定了下来.我们舍弃c对应的(3)
但是(1)(2)只是可确定一直线k,A到底旋转到了哪里了呢?
首先肯定在k上.原来,k在xy平面上的投影k'在h上,这样可得到一个方程(4)
由(1)(2)(4)应该可以得到A'