三角形的内接正方形

ccmmjj

三角形的内接正方形是这样定义的：一边在三角形一边所在直线上，另两顶点分别在三角形另两边上的正方形。这样的正方形共有三个。
若三角形三边长分别为a,b,c，比较这三个正方形的大小。

zhujingshen

三角形内接正方形面积最大问题

已知三角形三边,设a>b>c,

则：a边内接正方形面积>b边内接正方形面积>=c边内接正方形面积（直角三角形时等号成立）

drc2000回来

设三角形三边长分别为a,b,c,(a≥b≥c)，对应高为d,e,f，对应正方形边长为x,y,z，面积为s。
则ad/2=be/2=cf/2=s
所以d=2s/a，e=2s/b，f=2s/c
画图,(小三角形高d-x,底为x,大三角形高d,底为a)
根据相似三角形得(d-x)/d=x/a,既1-x/d=x/a,
所以x=2s/(a+2s/a),同理y=2s/(b+2s/b),z=2s/(c+2s/c)
而耐克函数值t+2s/t,当t=√(2s)时最小.
所以其倒数函数值2s/(t+2s/t),当t=√(2s)时最大.
……

drc2000回来

以边长为5，4，3的直角三角形为例子。
面积s=6，2s=12
三正方形边长为：12/（5+12/5），12/（4+12/4），12/（3+12/3），
既：12/7.4,  12/7,  12/7
......

ccmmjj

drc2000回来 发表于 2016-2-20 09:08
设三角形三边长分别为a,b,c,(a≥b≥c)，对应高为d,e,f，对应正方形边长为x,y,z，面积为s。
则ad/2=be/2=cf ...

做得不错，但讨论尚未充分。