三言两语解决罗素悖论

门外汉

　　首先介绍罗素悖论：设性质P(x)表示“x不属于x”，现假设由性质P确定了一个类A——也就是说“A={x|x∉x}”。那么问题是：A属于A是否成立？首先，若A属于A，则A是A的元素，那么A具有性质P，由性质P知A不属于A；其次，若A不属于 A，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A属于A。

　　要理解罗素悖论，必须先弄懂两个概念，一个是x∈x形式的集合，称为“自属集”，另一个是x∉x形式的集合，称为“非自属集”。

　　“自属集”的意思是说：x是一个集合，但同时x又是x中的一个元素，即x∈x，例如：设包含所有集合的集合为Ｊ，那么，Ｊ本身就是一个集合，既然Ｊ包含所有的集合，那么Ｊ同时也是Ｊ中的一个元素，即Ｊ∈Ｊ。

　　“非自属集”的意思是说：集合x不是x中的元素，例如，包含所有苹果的集合为Ｐ，Ｐ本身不是一个苹果，所以Ｐ∉Ｐ。

　　罗素悖论的意思是说：将所有的“非自属集”全都收集起来，构成一个集合Ａ，问题是：Ａ本身也是一个集合，那么Ａ是“自属集”呢？还是“非自属集”呢？

　　分析结果为：
　　1：如果Ａ是自属集，那么Ａ的元素中就有Ａ，即Ａ属于Ａ，可根据定义：Ａ的所有元素中都是“非自属集”，如果Ａ是Ａ的元素，那么Ａ也是“非自属集”。
　　2：如果Ａ是“非自属集”，那么按照定义：Ａ的所有元素全都是“非自属集”，所以Ａ就是Ａ中的一个元素，可是，既然Ａ是Ａ中的一个元素，那Ａ又成了“自属集”。

　　上面的矛盾无法解决，所以罗素悖论是一个悖论。

　　下面三言两语来解决罗素悖论：

　　问题就出现在这个“自属集”的身上，这是一个不合法的概念，本身就是包含矛盾的。

　　举例来说：“能够装下所有苹果的袋子”、“能够装下所有衣服的袋子”、“能够装下所有食品的袋子”，我们来看一下这些个“袋子”们有什么问题吗？这些个袋子虽然都是不符合生活实际的，但是从数学的角度，具体来说是从集合论的角度来说，这些个袋子们是没有任何问题的，因为它们不会导致什么矛盾出现。这些个袋子就相当于是“非自属集”。
　　“非自属集”在数学中没有任何的问题，是合法的，无矛盾的。

　　再举例来说：“能够装下所有袋子的袋子”，这个袋子是会引起矛盾的，因为，由于它自身就是一个袋子，所以它也要自己装下自己，而一个袋子能够自己将自己装下，这是明显违反逻辑……
　　再举一个例子：假设一条鱼能够吃掉所有的虾，这从数学角度上来说并不会引发什么逻辑上的矛盾，但如果假设：一条鱼能够吃掉所有的鱼，则又会引发矛盾了，因为它自己本身也是一条鱼，所以它也要自己吃掉自己，这也是违反逻辑的。

　　上面所举的两个例子，对应的就是“自属集”，所以“自属集”在数学中是有矛盾的，不合法的。

　　所以罗素悖论的错误在于：罗素人为虚构了“自属集”这样一个不合法的、有矛盾的概念，并用一个错误的前提条件推导出了错误的结果。

　　本人所做出的破解方法是从问题的本身出发，正面解决矛盾，而ＺＦＣ的破解方法其实是回避矛盾，用子集公理来说明A={x|x∉x}不是任何集合的子集，所以这种集合不能构成，也就是将这种有矛盾的集合排除其系统之外，这实质上是回避矛盾，而不是在解决矛盾。

zhujingshen

“非自属集”的意思是说：集合x不是x中的元素，例如，包含所有苹果的集合为Ｐ，Ｐ本身不是一个苹果，所以Ｐ∉Ｐ
×××××××××××××××××××××××××××××
集合x和x一般是2回事，集合x是量，x是数。也有同属一个集合，都是数，不能一概而论。
如：自然数集合N,集合里面都是自然数，有限数。集合N是无穷大量，我写成无穷大数,111111......,2222....,33333......,4444......,..........是不是这样，就只有天知道了。非标准数学写成“Ω”，将“Ω”算入自然数集合是不严格的，这样的集合不是自然数集合，集合的性质变了。集合的性质的改变会造成悖论。罗素所言有一定道理，如“理发师”，具体事，具体分析，你说的鱼吃鱼，鱼也可能吃掉自己的尾巴，悖论不可怕，悖论给人以思考

门外汉

我觉得吧：x∈x和x∉x这两个集合概念很多人弄不懂。

zhujingshen

无穷就是悖论。如：自然数集N，本论坛一位学者说：“N是自然数集的末数”。悖论来了，自然数集N是无穷的，N是无穷大，自然数也有无穷大数，矛盾，悖论。

门外汉

这个应该顶上去，给学集合论的同学们研究研究

elim

事情没楼主想的那么简单。一切数学对象的汇集完全可以是一个数学对象，没有严格的集合的定义，自属集完全可以是一个合法的集合。

门外汉

elim 发表于 2016-2-28 16:03
事情没楼主想的那么简单。一切数学对象的汇集完全可以是一个数学对象，没有严格的集合的定义，自属集完全可 ...

为何说自属集本身就构成矛盾，我来给举一个例子：
假设一个屋子里有三个袋子，分别编号为d1,d2,d3
另有三个苹果，分别编号为p1,p2,p3.
我们说：将所有的苹果全都装进同一个袋子里，假设是全都装进袋子d1中，则集合表达式为：d1={p1,p2,p3},这个表达式没有任何问题。这个是“非自属集”的例子。
接下来举一个“自属集”的例子：
我们说：将所有的袋子全都装进同一个袋子里，假设是全都装进d1中，这个集合表达式无法表达，因为d1中只能装下d2和d3两条袋子，按照定义，d1也要将d1自己装进d1中，但，一个袋子自己装下自己，这本身便是不符合逻辑的。
如果我们生硬的做出集合表达式，便会写成：d1={d2,d3,d1},（即d1∈d1,它是一个自属集合）我们观查一下集合内的d1,由于d1={d2,d3,d1}，将它代入到集合内的d1中，便是：d1={d2,d3,{d2,d3,d1}},将这个公式无穷的代入，便会得到：d1={d2,d3,{d2,d3,{d2,d3,{d2,d3},}}}}……}，于是我们便会发现矛盾：屋子里本来只有三条袋子，所以d1最多也只能装下三条袋子，但从上面的公式来看，d1中装下了无穷多条袋子。
这便是“自属集”所造成的矛盾。

门外汉

矛盾二：设Ａ＝{}（即Ａ为空集），令Ａ属于Ａ，则Ａ＝{Ａ}＝{{}}，Ａ以空集为元素，即：空集不空。

elim

楼主假定自属集为有限集，才导致“矛盾”。

门外汉

elim 发表于 2016-2-29 07:43
楼主假定自属集为有限集，才导致“矛盾”。

可以设计出有限的自属集，也可以设计出无限的自属集，矛盾都是一样的。
例如：设计所有非苹果的集合为Ｑ，Ｑ＝{Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３……Ｑ}，将公式代入到Ｑ中，得到：Ｑ＝{Ｐ1，Ｐ2，Ｐ3……{Ｐ1，Ｐ2，Ｐ3……{Ｐ1，Ｐ2，Ｐ3……}}}……}