请教：求数列和的极限？？

qingjiao

luyuanhong

我用软件计算了一下：

当  n=10  时，∑(m=1,10)Sm = -0.1705123213 。

当 n=100  时，∑(m=1,100)Sm = -0.1906720543 。

当 n=1000 时，∑(m=1,1000)Sm = -0.1928974306 。

当 n=5000 时，∑(m=1,5000)Sm = -0.1930971916 。

可见，当 n→∞ 时，∑(m=1,∞)Sm 收敛，但不收敛于 1-γ 。

qingjiao

是不是我的题意表达的不清楚？

这里，S1=1/3-1/4+1/5-1/6+...；S2=1/5-1/6+1/7-1/8+...；S3=1/9-1/10+1/11-1/12+...

我算过S1+S2+...+S7；S1+S2+...+S8；S1+S2+...+S9三个数值应是趋向1-γ的。

另外任何一个系列Si都很明显是正数，尽管越来越小，但不可能小于0。

请陆教授再算算看？？

luyuanhong

按照你在第 3 楼中所举的例子，第 1 楼中的表达式应该修改为：

Sm = (-1)^m [ ln2-1+1/2-1/3+1/4-…+(-1)^m/m] 。

这样才能保证每个 Sm 都是正数。

如果按照你原来在第 1 楼中的定义，算出来的 Sm 是一正一负相间的。

qingjiao

不好意思，的确有地方写错了，更正如下：陆教授请再算算看。

luyuanhong

qingjiao

陆教授误会了我这个数列的设计思想：



因为log2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...=(1-1/2)+(1/3-1/4)+(1/5-1/6)+...



显然任一括号内两项差>0，若不算上述无穷数列中的若干个括号，剩下的项之和依然>0。



那么不要的方法是，S1不要前面2项，S2不要前面4项，S3不要前面8项，...，Si不要前面2^i项。所以：



S1=log2-(1-1/2)



S2=log2-(1-1/2+1/3-1/4)



S3=log2-(1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8)



S4=log2-(1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+1/9-1/10+1/11-1/12+1/13-1/14+1/15-1/16)



......



显然每个Si都>0，而且经验算，S1+S2+S3+S4+...Si+...-->1-γ

elim

elim

解释一下楼上的计算：

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。