[原创]一个费马的变种题.

技术员 · 发表于 2010-10-8 17:59

[watermark]即:x,y,n为整数.x,y>=2,n>2,必存在一个整数m,满足不等式:m^n

elimqiu · 发表于 2010-10-8 20:12

这的确和费马问题等价。

技术员 · 发表于 2010-10-8 21:05

下面引用由elimqiu在 2010/10/08 08:12pm 发表的内容：
这的确和费马问题等价。

可能还是有很多人看不明白,你能否解释一下呢?
还有可能认为此题很简单的.哈哈.

elimqiu · 发表于 2010-10-8 22:59

设正整数 n > 2, 那么 1 < 2^n < 3^n < … < k^n < …
所以数轴被数列 1，2^n， 3^n， … ， k^n，… 分成了一系列间隔(区间)
任何一个正整数 d 必然落在某个间隔所确定的范围内： m^n ≤ d < (m+1)^n
现任取正整数 x, y, 令 d = x^n + y^n, 那么 m^n ≤ x^n + y^n < (m+1)^n
根据费马大定理， m^n = x^n + y^n 不成立，所以 m^n < x^n + y^n < (m+1)^n
反之，如果主贴的结果成立，那么 x^n + y^n = m^n 对每个正整数 m 都不可能成立，
所以费马大定理就成立。

luyuanhong · 发表于 2010-10-9 11:09

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/10/09 11:10am 第 1 次编辑]

下面引用由82615471在 2010/10/09 10:36am 发表的内容：
非也！这个问题很简单！
设 x < y ，y = x + c，因为
y^n < x^n + y^n = x^n + ( x + c )^n
< ( x + c + 1)^n = ( y + 1)^n，
...

上面证明中的不等式 x^n + y^n < (y + 1)^n 不一定成立。
例如：设 x = 6 ，y = 7 ， n = 3 ，则有
x^n + y^n = 6^3 + 7^3 = 216 + 343 = 559 ，
（y + 1)^3 = (7 + 1)^3 = 8^3 = 512 。
显然 559 > 512 ，而不是 559 < 512 。

技术员 · 发表于 2010-10-9 12:19

陆教授是对的. 请陆教授往下看: 设m=[(x^n+y^n-1)^(1/n)],[]为取整. 即需证明[(x^n+y^n-1)](x^n+y^n)^(1/n)-1 但由于因式分解没学好.无法向下证了. 但经过验证.从x=2,y=2开始是对的.而x,y越大不等式成立的可能性却越大. 请大家关注.

elimqiu · 发表于 2010-10-9 12:32

下面引用由88290779在 2010/10/09 00:53am 发表的内容： 举一个反例。设n=3，m=3，x=4，y=5即得 27< 64+125≮(3+1)^3.说明楼主之命题非等闲.

你没有明白楼主的意思，这里的m 不是随意的，是说存在那么一个。那你的例子来说， m = 5, 125< 64+125<(5+1)^3 成立。

elimqiu · 发表于 2010-10-9 12:35

下面引用由82615471在 2010/10/09 00:06pm 发表的内容：
非也！这个问题很简单！更正如下：
因为 x^n + y^n = A 为正整数，而 m 是不固定的正整数，所以总可有一个 m，
并且 m^n 为小于 A 的所有正整数中的最大数，使 m^n < A < ( m + 1)^n 成立！
例如， ...

非什么？楼主的命题与费马的不等价？

技术员 · 发表于 2010-10-9 18:09

其实这个题很好理解:
如果z在两个相邻的整数之间,它必不是整数.
elimqiu你因式分解学得好不?关注7楼.
证明[(x^n+y^n-1)^(1/n)]>(x^n+y^n)^(1/n)-1,[]为取整.

技术员 · 发表于 2010-10-9 20:58

下面引用由82615471在 2010/10/09 08:53pm 发表的内容：
是的！因为 A = x^n + y^n，而 A 是一个正整数，并不一定是某个正整数的 n 次方！

A肯定不是某个正整数的 n 次方.只要x,y>=2,n>2.
你想要说明什么?

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