换一个角度去看四色问题

雷明85639720

换一个角度去看四色问题
雷  明
（二○一六年四月九日）

四色猜测是在给地图的染色过程中提出来的，人们凭经验感到任何一个平面图或地图在着色时，最多只要四种颜色，就可以保证平面图中有边相邻的顶点或地图中有边相邻的区域具有不同的颜色，这只是作为一种猜想提出来的。现在人们研究四色问题，完全是出于为了回答该猜测或该命题是否为真的问题。
现在我们换一个角度，提出四色问题如下：给平面图的顶点或地图中的区域进行染色，使得平面图中有边相邻的顶点或地图中有边相邻的区域具有不同的颜色，最多几种颜色就够用了。条件是我们现在头脑里并没有对平面图的顶点着色或对地图的区域着色时，猜想最多四种颜色就可以够用的这一概念。
在这种情况下，首先我们进行分析：任意一个完全图的各个顶点都是互相相邻的，着色时一定要用与其顶点同样多的颜色才能够用。而其它的非完全图中一定有不相邻的顶点存在，那么不相邻的顶点着上同一种颜色也是完全符合要求的。这时我们可以把距离最近的（即只相隔一个顶点）不相邻顶点同化在一起，变成一个顶点，一步步的把一个非完全图变成顶点数最少的一个完全图。把这个顶点数最小的完全图就叫原图的最小完全同态。该最小完全完全同态的每一个顶点都是由若干个不相邻的顶点同化而来，是代表着原图中若干个不相邻的顶点的，而这些不相邻的顶点用同一种颜色也是完全可以的。因此，用与图的完全同态的顶点数相同数目的颜色，一定是可以给该非完全图着色的，这时所用的颜色也一定是最少的。这个最小完全同态的顶点数就是图的色数。
在平面图中，极大平面图（v≥3，v是图的顶点数。条件v≥3是因为v＝1和2的图不是极大图）的相邻关系最复杂，且有3f＝2e（f是面数，e是边数）的关系，把f＝2e/3代入平面图的欧拉公式v＋f＝e＋2中得e＝3v－6（v≥3），再把完全图中边与顶点的关系e＝v（v－1）/2代入其中得v2－7v＋12＝0（v≥3），解这个一元二次方程得v1＝4和v2＝3，即任何极大平面图同化到最后都一定是一个顶点数是3或4的完全图。因为完全图的色数γ就等于其顶点数v，所以也就有顶点数v≥3的极大平面图的色数γ极大＝3或4 的结论。
因为对极大图通过去点或减边而得到的任意平面图的色数，只会减少而不会增加，所以也就有v≥3的任意平面图的色数是小于等于4的结论；又因为顶点数为1和2的平面图的色数只能是1和2，也是小于4的。这就得到出任何平面图的色数都是小于等于4的结论。这就是平面图的四色猜测。
到此就证明了平面图的四色猜测是正确的。对地图的区域（面）的着色就是对其对偶图（极大图）的顶点着色，所以也就证明了地图的四色猜测是正确的。四色猜测得证。
雷  明    二○一六年四月九日于长安
注：此文已于二○一六年四月十日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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