[求助]请教两个小小的数学问题

Aloft

1. 题目: 若自然n被3除余2, 被4除余1,那么被12除余几?
   解题答案我有, 但不明白为什么要引出个B';来解题, 有谁知道?
题解如下:
   因为: 3A+2=4B+1,推出: 3A+2=4( B';+1)+1
   所以: 3A+2=4B';+5, 即:3A-3=4B';, 其中B';为自然数. 因为3A-3为3的倍数, 则4B';也3的倍数, 而且4和3互质, 则4B';必为12的倍数, 所以n被12除余5.

2. 尾数为3的数的幂的个位数一定以3,9,7,1循环.这说发是什么意思? 对任何一个数来说个位就只有一个, 怎么可以有几个来循环? 能举个简单的例子说明一下吗?

白新岭

问题2，任何一个数的个位数都是固定的一个数不会错，一个自然数是不会有两个不同的个位数字的。问题的关键，它并不是一个确定的自然数，只是确定了其个位数字是3，而(10a+3)^k中的k并不确定，不同的k值，其结果数字的个位不一定相同，但是它不会是1，3，7，9以外的数字，如果按自然顺序取k值，就会形成循环。

luyuanhong

下面引用由Aloft在 2010/10/11 11:39am 发表的内容：
2. 尾数为3的数的幂的个位数一定以3,9,7,1循环.这说发是什么意思? 对任何一个数来说个位就只有一个, 怎么可以有几个来循环? 能举个简单的例子说明一下吗?

例如，13 是一个尾数为 3 的数，它的各次幂为：
13^1 = 13
13^2 = 169
13^3 = 2197
13^4 = 28561
13^5 = 371293
13^6 = 4826809
13^7 = 62748517
13^8 = 815730721
………
可以看出：13 的各次幂的个位数以 3,9,7,1,3,9,7,1,3,9,7,1,… 循环。

白新岭

一个数除3的余数有3种（0，1，2），一个数除4的余数有4种，所以一个数除3的余数与除4的余数的组合有3*4=12种，用（0，0），（0，1），（0，2），（0，3）；（1，0），（1，1），（1，2），（1，3）；（2，0），（2，1），（2，2），（2，3）表示那12种，每个括号里前边的数字，是自然数除3的余数，后边的是除4的余数，从这里可以看出12是一个周期（或最小公倍数），那么我们可以把自然数表示成12n+k的形式，n取任意自然数（包括0），k取1到12，则每个k值对应着一种余数组合。12能被3，4整出，余数取决于k，余数为非0，所以k不是3或者4的倍数，k只能在1，2，5，7，10，11中，有除3余2，可排除1，7，10；留下2，5，11，再有条件：除4余1，只有k=5符合条件，所以只有12n+5的数符合。所以这样的数除12一定是余5.

Aloft

[这个贴子最后由Aloft在 2010/10/11 03:19pm 第 1 次编辑]

谢谢2,3楼, 现在明白了.
#4楼, 你的解法好像比起答案那个要复杂, 其实用代入法一个个试也能算出是余5,但就是比教麻烦, 如果数子更大的话就更麻烦. 我看到参考答案感觉简单点,但不明白它为什么跑了个B';出来. 能沿这个思路解释一下吗?