平面图最小完全同态的亏格不大于原图的亏格及四色猜测的证明

雷明85639720

平面图最小完全同态的亏格不大于原图的亏格及四色猜测的证明
雷  明
（二○一六年四月十一日）

1、曲面的亏格是球面上“焊接”的“环柄”的个数，或球面上穿过“孔洞”的个数。球面上没有环柄或穿过孔洞，所以球面的亏格是0，而轮胎面和眼镜匡面分别是有一个孔洞和两个“孔洞”穿过的球面（相当于在球面上“焊”了一个或两个“环柄”），所以轮胎面和眼镜匡面亏格分别是1和2。
2、一个图可以画在不同亏格的曲面上，把其画在曲面上后，除在图的顶点处有边与边相交外，其他非顶点处均无边与边相交叉的情况时，图所能画上去的曲面的最小亏格，就是该图的亏格。把图能画在与其亏格相同的曲面上，且没有边与边在顶点之外相交叉的情况，叫图能“嵌入”到该曲面上。
3、一个图可以画在比自已亏格大的曲面上，但不能画在比自已亏格更小的曲面上，否则会出现在顶点以外有边与边相交叉的情况。如图K5和图K3，3的亏格都是1，都能嵌入亏格是1的轮胎面（也叫环面）上，也能画在亏格为2的眼镜匡面（也叫双环面，“8”字形面等）上，但不能画在亏格是0球面上，否则图中就会出现交叉边。
4、能画在球面或嵌入球面上的图也叫平面图，因为球面上的点以可与平面上的点有一一对应的关系，即可以从球面上的一点把球面上的其他点投影到平面上去，而该投影点就是平面上的无限远点。
5、在任何图中，把不相邻的顶点进行同化（即图论中的收缩运算），最后都可得到一个顶点数不能再少的完全图，这个完全图就叫原图的最小完全同态。这个最小完全同态的顶点数就是原图的色数（哈拉里）。
6、图K5的最小完全同态就是其本身，色数也是5，而图K3，3的最小完全同态是却是K2，色数是2，由此可进一步说明图的色数就是其最小完全同态的顶点数的论断是完全正确的。K5和K3，3的亏格虽然都是1，但其最小完全同态的亏格却不同。K5的最小完全同态的亏格仍是1，而K3，3的最小完全同态的亏格却是0，比原图的亏格小。由此也可以看出图的最小完全同态的亏格是可以小于其原图的亏格的。现在要问，有没有最小完全同态的亏格比其原图亏格大的图呢？
7、为什么要提出这样的问题呢，因为每一个亏格的曲面，都对应有一个最大顶点数的完全图能嵌入其上，这个最大顶点数的完全图的色数就是该完全图的顶点数，其所嵌入的曲面的色数以及所能嵌入该亏格曲面上的图的色数，也是不会大于这个完全图的顶点数的。能嵌入平面上的图中最大顶点数的完全图是K4，当然平面图中的最大团的顶点数也是不会大于4的。如果能证明平面图的最小完全同态的亏格都不大于0，那么就能说明平面图的最小完全同态的顶点数也都不会大于4。由于图的最小完全同态的顶点数就是原图的色数，从而也就说明了平面图的色数是不会大于4的。这样，也就可以使四色猜测得到证明是正确的。
8、在平面图中存在色数等于其密度的情况，如树图、偶圈和偶轮，其密度和色数都分别是2和3；也有色数大于其密度的情况，如奇圈和奇轮以及K3图进行了M—操作后的图，其密度分别是2和3，色数却分别是3和4。也还有色数等于密度，但不大于4，而却是非平面图的情况，如在K4图外有一条饱和道路（但不是不可同化路）的情况，其密度4，色数也是4，均不大于4，但却是非平面图；也有色数大于密度，但不大于4，也是非平面图的情况，如偶圈进行了M—操作后的图，其密度是2，色数是3，均不大于4，但其却是非平面图；当然更有色数大于密度，也大于4的非平面图，如边数大于等于5奇圈进行了M—操作后的图和K4图进行了M—操作后的图，以及在K4图外有一条不可同化路情况的图，它们的密度分别是2和4，而其色数却是4和5。
9、通过以上的分析可以看出，平面图的色数是可以大于其密度的，但色数大于密度而仍是平面图的图的色数都不大于4，而色数大于密度，又大于4的图却都成了非平面图。即色数大于其密度，又大于4，的平面图的图是不存在的。也就是说最小完全同态的顶点数大于4的平面图是没有的。而顶点数小于等于4的完全图都是平面图，亏格也都是0，这就完全可以说明平面图最小完全同态的亏格仍是等于0而不会比其原图的亏格大。图的最小完全同态的亏格不会大于其原图的亏格的证明，请见另文《任意图的最小完全的亏格不大于其原图亏格的证明》。
10、平面图的最小完全同态的亏格不会大于0，说明了平面图的最小完全同态都仍然是平面图，而平面图中的完全图只有K1，K2，K3和K4，其顶点数分别是1，2，3和4（其着色时也分别只用一种，两种，三种和四种颜色就够了），都不大于4。因为图的色数就等于其最小完全同态的顶点数，所以这也就说明了任何平面图的色数都是不会大于4的。

雷  明
二○一六年四月十三日于长安
   
注：此文已于二○一六年四月十六日在《中国博士网》上以表过，网址是：

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