读R•柯朗《什么是数学》一书的启示

雷明85639720

读R•柯朗《什么是数学》一书的启示
雷  明
（二○一六年四月十七日）

最近我学习了美国R•柯朗著的《什么是数学》一书，从第九章《新的进展》中一章有关“四色猜测”的小节中得到的启示如下：
1、四色猜测仍然还没有被证明是正确还是错误
R•柯朗在《什么是数学》一书中说，阿贝尔的证明是“用一种相当复杂的方式，分析了两千个左右的特殊地图的状况。考察所有这些情况是冗长乏味的，所以，他们用了一个计算机，进行了上千个小时的计算，完成了核对的工作。”“但是，至今还没有找到能用‘笔和纸’给出的证明。是否存在更简单的证明？目前还没有人能回答这一问题。但是，人们已经知道，沿着上述证明的方向是不可能使证明得到实质性的简化的。”这就明明白的说明了四色猜测仍然是没有被证明是正确还是错误。
2、坎泊提出的不可避免构形集是正确的
R•柯朗在《什么是数学》一书中说，坎泊证明的方法是所谓存在“最小正规地图”。其“基本思想是，若四色定理不成立，那么必存在着需要五种颜色上色的地图。”因而他把区域数最少的五色地图称为“最小正规地图”。书中又说“最小正规地图有如下特性：它需要五种颜色上色，但任何区域数少于它的地图只需四种颜色上色。证明的做法是，通过揭示上述特性，给出最小正规地图的结构，直到最终说明最小正规地图不可能存在。由于产生了矛盾，四色定理一定成立。”坎泊用他的对最小正规地图中的某个区域的“缩小”和“恢复”的办法，“用一种现在称为‘开姆玻链’的巧妙办法交换颜色，可以改变与它相邻区域的颜色”，只解决了缩小的区域是三角形面和四边形面的问题，并没有解决该区域是五边形面的问题。虽然如此，但坎泊却“证明了，每一个地图必包含一个区域，它要么是三角形，要么是四边形，要么是五边形。”这一结论利用现在的图论理论，也是能够证明是正确的，因为图论中有“任何平面图中一定至少存在着一个顶点的度是小于等5的”对结论。
3、不可免的可约构形集的提法是错误的
R•柯朗在《什么是数学》一书中说，富兰克林的“一个构形是指，地图中的一组连结着的区域，以及关于每个区域外边有多少个区域和它相邻的信息。”“一般来说，给定一个构形，我们考虑：包含它的任意一个地图，如果只要把这个构形缩小后得到的地图能用四种颜色上色，这个地图就也能用四种颜色上色，我们称这样的构形为可约的。”“显然，最小正规地图不可能包含可约构形。所以，如果能说明每一个最小正规地图都必须包含一个可约构形，我们就得到了所要的矛盾。要做到这一点，最直接的办法是，找出不可避免的可约构形集合。不可避免的意思是指，任何一个地图——不仅是最小正规地图——都必须包含这个集合中的一个构形。开姆玻相当成功的做到了这一点，他正确的证明了，集合{三角形，四边形，五边形}是一个不可免集合。”
这里已经指出了“不可避免的意思是指，任何一个地图——不仅是最小正规地图——都必须包含这个集合中的一个构形。”那么只要证明了其中的每一个构形都是可约的，四色猜测就应得到证明是正确的。而提出“不可避免的可约构形集合”的术语并去寻找这个集合，是不合适的。因为按汉语的语法讲，用这个术语所指的集合，只是指不可避免构形集中的可约构形子集合，只是不可避免构形中的一部分，而不是全部的不可避免构形。即就是那个“不可避免的可约构形集合”中的所有构形都是可约的，也不能说明四色猜测就是正的。所以，正确的提法还是叫“不可避免的构形集”比较合适，就象定义集合{ 三角形，四边形，五边形 }那样，是一个“不可免集合”，而不应叫“不可避免的可约构形集合”。
4、地图或平面图的“不可避免构形集”到底有多大
前面已经说了，坎泊已证明了的“不可避免构形集”的大小是3，即由{三角形，四边形，五边形}构成的集合。而R•柯朗在《什么是数学》一书中却说，希斯认识到“一个不可避免集合包含的构形，远不是开姆玻所给出的三种。五边形必须被一系列其他构形来代替（理由何在？是否经过了证明？有没有反例呢？——括号中的话是笔者的批注，以下同）。事实上，希斯估计，大约需要10000个大小适中的构形（数学中怎么能用“估计”和“大约”这样的词语呢？完全是没有根据的嘛！什么算是“大小适中”呢？）。书中又说，哈肯（阿贝尔的合伙人）认为，“最大的困难是不可避免集合中的构形的数量。估计要核对10000个区域的可约性。整个计算要进行上百年。而且，在这个不可避免集合中只要发现有一个构形是不可约的，最终整个的计算将全无价值。”这是肯定的，当然只要有一个构形是不可约的，四色猜测就一定是不正确的了。
书中还说，1976年1月，阿贝尔“他们开始构造一个大约有2000个区域的不可避免集。这一工作在1976年6月完成。然后，他们检验这个集合中每一个构形是否可约，这时必须要用计算机。对哈根和阿佩尔给出的这不可避免集合中的2000多个构形，计算机尽职的报出，每一个都是可约的。这与存在着最小正规地图的假定相矛盾。所以，平面上的任何一个地图，用四种颜色上色就足够了。”
这里对“区域”和“构形”的概念完全是混乱的。一会儿是“大约需要10000个大小适中的构形”，一会儿又是“估计要核对10000个区域的可约性”，一会儿是“大约有2000个区域的不可避免集”，一会儿又是“不可避免集合中的2000多个构形”。道底是10000个和2000个什么呢。是10000个和2000个“区域”呢，还是10000个和2000个“构形”呢。要知道，每一个构形中都是有若干个区域的。“区域”与“构形”可是两个完全不同的概念。上面书作者R•柯朗不是说了“一个构形是指，地图中的一组连接着的区域，以及有关每个区域外边有多少个区域和它相邻的信息”这句话吗。前面刚说了，怎么后面紧跟着就忘记了呢。希斯提出的“10000个”，阿贝尔提出的“2000个”，还有后来的罗伯逊提出的“633个”，到底那一个正确呢，有那一个“提出者”证明了他的不可避免集合中的构形数目是正确的呢。这么一个非常严肃的不可避免集合中的元素个数（数字），怎么能说变就变了呢。有那一个“提出者”能证明他所提出的数字以外的构形就都是可约的呢，不能保证这一点，能说明四色猜测就得到了证明吗。
我的看法，还是坎泊提出的由三个元素构成的集合：{ 体三角形，四边形，五边形 }才是平面地图的不可避免构形集合。因为这是可以经过了严密的图论数学证明而得出的结论。
5、验证终归是验证，不能代替理论上的严格证明
R•柯朗在《什么是数学》一书中说，“利用大量计算得到的结果（仅靠人脑是无法完成这一核对工作的）是否算得上是一个证明？哲学家铁木钦柯（Stephen Tymoczko）说：‘如果把四色定理看作是被证明了的定理，那么我们必须改变“定理”的涵义，更确切的说，必须改变“证明”的概念。’但是，从事研究的数学家几乎都不同意这种看法。一个原因是，有一些不依赖于计算机的数学证明，其证明又长又复杂，以至于，即使研究了十年，没人敢拍着胸脯保证其中一点问题也没有。……数学家一般都相信他的证明是正确的。原因是，证明的整个想法是有意义的，细节是相符的，还没有人发现有严重错误，……当然，如果任何人——内行或外行——发现了错误，就不可能再认为证明是对的。但至今没有人发现有任何错误。”
我认为，阿贝尔的“证明”只相当于“验证”，相当于验证了2000个构形都是4—可着色的，这与我们平时只个别图着色时，且色数都不大于4是一样的，具有同样的效力。都只是对个别的图进行了4—着色而已，不能叫做证明。如果这也叫做证明，那可真的是要对“证明”的概念要进行改变了。没有人指出他（阿贝尔）对这2000个构形的4—着色有错误，就能说明四色猜测是正确的吗。“没人敢拍着胸脯保证其中一点问题也没有”，能保证“证明”的结论是正确的吗。“如果任何人——内行或外行——发现了错误，就不可能再认为证明是对的。但至今没有人发现有任何错误。”就因为至今没有发现其所谓的“证明”中的错误，就能说明他（阿贝尔）的证明是正确的吗。
6、阿贝尔证明了四色猜测是正确的了吗
阿贝尔的所谓“证明”，如上所说，只是验证了2000个构形或图都是可4—着色的，并没有彻底证明了四色猜测就是正确的。阿贝在他们的论文《四色地图的解决》一文的开头也只是说“1976年，我们解决了四色问题。……我们的证明前无古人的使用了计算机，……证明的正确性不靠计算机是无法检验的。”，在文章的结尾又说“1976年6月，我们完成了构造可约构形的不可免集的工作，四色定理得到证明。”两处均没有提到他们得到的结论是什么，也没有说四色猜测道底是正确还是不正确。可我们的数学家们都在硬说，阿贝尔证明了四色猜测是正确的，不知是从那里得到的结论。
7、五边形构形的可约性证明
坎泊提出了正确的平面地图的不可避免构形集是{ 三角形，四边形，五边形 }，但没有证明五边形构形是可约的。希斯提出了“五边形必须被一系列的其他构形来代替”，并“估计”“大约”需要10000个“大小适中”的构形。阿贝尔构造了一个“大约有2000个区域的不可避免集”，并逐一进行了验证了这些构形都是可约的。即就是这些构形都是可约的，但不能保证这些构形以外的不可免构形就一定都是可约的。因此，四色猜测还是没有得到证明。如何证明，还是要证明五边形构形是可约的，不能用别的构形代替之。
我认为，对四色猜测严格的理论上的证明，必须是证明“五边形构形”也是可约的，或者是走“不画图，不着色”的道路，用纯理论的证明方法证明四色猜测是正确的。
五边形构形按对偶图来说，就是我们平时所说的5—轮构形。该构形中有两条相交且连通的链，两链有一种颜色是共同都有的，两链的交叉顶点就是这种共同的颜色。利用坎泊的颜色交换技术把两链所没有的那种颜色，与两链所共有的颜色构成的色链，从两链的交叉顶点起开始交换，就可使两链的交叉顶点的颜色得到改变。这样的结果，就使得两条连通链都变得不连通了（我叫这种过程是“断链”）。这时，由于图中没有了连通链，就可以从5—轮的任一个轮沿顶点开始施行坎泊的颜色交换技术，从5—轮的轮沿顶点中空出一种颜色来给5—轮的轴心顶点着上。
另一种走“不画图，不着色”的道路就是，利用多阶曲面上图的欧拉公式，直接推出多阶曲面上图的色数公式。把平面图的亏格0代入其中，得亏格为0的曲面和平面上的图的色数都是小于等于4 的。这也就证明了四色猜测是正确的。当然还有多种不同的证明方法，都可以不画图和不着色，就可以证明四色猜测是正确的了。

雷  明
二○一六年四月十七日于长安
注：此文已于二○一六年四月十七日在《中国博士网》上发表过，网址是：
   

雷明85639720

，，，，，，，

任在深

综上所述，可知那些证明都是不正确的！
正确的证明应该是用结构数学归纳法！！
当 n=1,2,3,4，，，时，可四色着色，
当n=i时也可以四着色，
那么当n=i+1时同样可以四着色。

       证毕。
正如上面文中所述，即使你证明亿万个图形也只是验证而不是证明！
        如何证明？
        那就得用普适的原理来证明！
        因此只能从结构数学出发，首先找出普适的图形，然后找出其中的结构关系！
        这样就可以正确的证明了！！
看来你的老一套证明方法是不符合大自然法则的，明明是面着色；你却不明不白的归结到点上，却没有结构数学的数学函数结构式，你说你这么多年不是竹篮子打水----- 一场空吗？
       你要三思而后行！

雷明85639720

你懂什么吗。

任在深

雷明85639720 发表于 2016-4-19 09:19
你懂什么吗。

俺好多东西都不懂，
但你不懂的俺都懂！

                                        远看数学圆和方，
                                        方方圆圆弛可张，
                                        惟有中华数原理，
                                        有图有数是沧桑！
                                                                         哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈！！！！！！！！！

雷明85639720

真是个神经病。

雷明85639720

，，，，，，，，

任在深

雷明85639720 发表于 2016-4-22 09:03
真是个神经病。

楼主病的不轻？！
要有清醒的头脑！
不要一条道跑到黑！？

                                       盲人骑瞎马走黑路，
                                       看不见听不着危险，
                                       亲西方眉西方忘祖，
                                       看东方思祖国归根！
                                       

雷明85639720

你才是一条道呢，我不也是用了不同的方法吗，你看见了没有。

任在深

雷明85639720 发表于 2016-4-24 22:34
你才是一条道呢，我不也是用了不同的方法吗，你看见了没有。

请问？
        有一种方法符合大自然法则吗？
        没有！
        没用！！？