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本帖最后由 任在深 于 2016-4-24 18:32 编辑
---------1842年卡特兰猜想除开2^3=8,3^2=9是两个连续的正整数之外,没有两个连续数都是正整数的乘幂,这就是著名的连续数猜想即卡特兰猜想。
证
设:其中一个单位数是A,那么另一个单位数是 A+1
由题意得方程如下:
(1) (A+1)^2-A^3=1,
整理后解该方程:
(2) A(A^2-A-2)=0
________
-(-1)±√ 1-(4×-2) 1±3
A=-------------------------=--------
2×1 2
因此得:
A1=2, A2=-1, A3=0.
A1+1=2+1=3,A2+1=-1+1=0, A3+1=0+1=1
即:
1) 3^2-2^3=1
2) 0^1-(-1)^0=1
3) 1^0-0^1=1
见图(一)可知这三个解都符合题意,只不过是An小于1而已。
因此完全符合提议的只有唯一一组解: A=2,A+1=3.
即 3^2=9,2^3=8, 3^2-2^3=9-8=1.
卡特兰猜想成立。
证毕。
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