对许寿椿教授《图说四色问题》一书中赫渥特图着色的分折与理解

雷明85639720

对许寿椿教授《图说四色问题》一书中赫渥特图着色的分折与理解
雷  明
（二○一六年四月二四日）

    1、过去我在学习许教授的《图说四色问题》一书时，看到了许教授书中对赫渥特图的4—着色有两种模式（第三章和第四章中各一种），当时我只认为这两个着色模式都是根据人编写的“算法”（程序），用电脑着的色，自已也不明白该“算法”是如何编制的，也就不可能看出是怎么样的一个着色过程。只知道这两种着色模式都符合着色的要求——两相邻顶点不同色。由于任何一个图都可能有多种不同的模式，而没有再去研究其着色的过程，更没有去研究其与赫渥特图原着色间的联系。
2、什么是赫渥特图。我认为赫渥特图不光是一个图，而且还是只有一个5—度顶点未着上图中已用过的四种颜色之一的图。为什么这么说呢，因为我们对赫渥特图着色时，可以得到各种着色模式。在赫渥特着色的基础上着色，又可得到不同的着色模式，而且这种着色过程，还可以证明赫渥特指出的有两条连通且有两个相交顶点的链（其中一个相交顶点是两链的共同起点，另一个相交顶点是真正的交叉顶点）的情况下，该图是可4—着色的。这样，就可以使一个半世纪以来一直得不到解决的赫渥特图（带色图）的4—着色问题。
3、赫渥特图的4—着色。赫渥特图中虽有两条连通且有两个相交顶点的色链，但连通链是不能进行交换的，就是交换了也是不能空出颜色的。怎么办，就只有想办法使连通链变成不连通的，给“交换”和“空出颜色”创造条件。两链既有相交顶点，那么就可以通过交换，改变相交顶点的颜色，使原来连通的链变成不连通链。比如，从两链的相交顶点进行两链“共有的”颜色与两链“都没有”的颜色组成的色链，该相交顶点的颜色就会变成两链“都没有”的颜色，达到了两条链都“断链”的目的。没有连通链了，这时就可以任意的进行交换，都可以空出颜色给待着色顶点着上，使图中的颜色仍然保持是四种。
4、现在我们对许教授书中的赫渥特图着色过程进行分析，看其在给待着色顶点V着色之前，图中是否含有赫渥特图中的必要条件——有两条连通且有两个相交顶点的链。

许教授的第一个赫渥特图的着色分折：
《图说四色问题》一书第三章中的图3.13（如图1），是一个只用了红，黄，兰，绿四种颜色的图。待着色顶点V用了黄色。把V的黄色去掉后得图2。为制造与V相邻的顶点已占用完了四种颜色的条件，我们将顶点4的红色改成黄色，如图3。但现在图中还没有出现连通链，我们再从顶点8开始，对红—兰链进行交换，得图4。这时，图中就有了从顶点2到顶点4的红—黄连通链和从顶点2到顶点5的红—绿连通链，两链且在顶点2和顶点8处相交了两次，相交点都是两链所共有的颜色——红色。这就是渥特原来只剩下一个5—度顶点未着色，但他本人却不能对其进行4—着色的赫渥特图。图4中只用了四种颜色，只有一个5—度顶点未着上图中已用过的四种颜色之一。当然把这个图4按我们上述操作的相反方向进行过去，也就得到了许教授的图3.13。

当然，也可以把图2的顶点2进行红—黄链的交换，使顶点2由红变为黄，如图5，再从顶点8对黄—兰链进行交换，得图6。图6也具有赫渥特图的必要条件。
以上我们只考虑了V的黄色是从两个红色顶点交换而来。现在我们再考虑是从两个兰色交换而来的情况。对图2从顶点1进行黄—兰链的交换得图7，造成与V相邻顶点已点用完了四种颜色的条件。在上面的图3和图5中，都没有任何连通链，从顶点8进行了红—兰或黄—兰链的交换后，图中就形成了两条连通且有两个相交顶点的链。但图7中却已有一条连通的兰—绿链，表面上看，若把顶点9改成兰色时，就可产生另一条连通的兰—黄链，但若从顶点9进行红—兰链的交换时，却实际上进行的是把图中的红、兰顶点的颜色全部进行了互换，没有起到任何作用。所以说，用这种方法是不能把图1恢复到赫渥特的原图的。同样的，若从图2的顶点3进行黄—兰链的交换得图8，也是一个已经有一条黄—绿连通链，再也不可能产生另一条与其相交的黄—兰连通链的。也只是一个普通的5—轮构形，而非赫渥特图。


许教授的第二个赫渥特图的着色分折：
《图说四色问题》一书第四章中的图4.11（如图9），也是一个着了四种颜色的图，把待着色顶点V的黄色取掉后，得图10。把图10用不同的方法变成与V相邻的顶点都占用完了四种颜色的情况时，都是已有一条连通链的普通5—轮构形，不可能再产生有两条既连通又相交两次的连通链的非赫渥特图，如图11，图12，图13和图14。



5、总结。从以上赫渥特图的两个着色模式的着色过程中可以看出，同一个图，在着色过程中可能产生两多种构形，有普通的5—轮构形，其中有无任何连通链的情况，也有只有一条连通链的情况，同时还有赫渥特图型的含有两条既连通又有两个相交顶点的特殊5—轮构形。所以说，我们在提到赫渥特图时，一定要区分是着了色的赫渥特图，还是没有着色的赫渥特图。平时我们所说的赫渥特图即指着了色的，但仍有一个顶点未着上图中已用过的四种颜色的色图。这就是我们前面提出“什么是赫渥特图”的原因。
6、许寿椿教授的书主要是研究四着色的图中的一些性质和有趣现象的书，并不是专门研究四色猜想的书，所以其只是给赫渥特图进行了4—着色，也并没有去专门再研究自已为什么能对该图进行4—着色，而赫渥特却不能对其进行4—着色的原因。所以我认为要在赫渥特图原着色的基础上进行着色，教授也未必能用手工对其进行4—着色。
7、机器与人都是可以对平面图进行着色的。许教授用机器对赫渥特图进行了4—着色，雷明，张彧典，董德周，刘福，郑敏，米勒等人都能用手工对赫渥特图进行4—着色，进一步说明了计算机完全是在按人的指导思想去进行着色的，因为着色的程序是人按自已着色的方法编写的，计算机只是一点儿也不偏离的进行执行的。由此也可以说明阿贝尔的所谓证明，也只是用计算机按人的指导思想对2000个图进行了4—着色的验证而已，并不是证明。
雷  明    二○一六年四月二十四日于长安
注：此文已于二○一六年四月二十四日在《中国博士网》上发表过，网址是：
   

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