调和级数前任意项求和

王守恩

调和级数前任意项求和。

luyuanhong

楼上 王守恩 的帖子很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

掬一捧月光

怎么会有这么优美的估计式，如何得到的、。

王守恩

掬一捧月光 发表于 2016-5-8 18:39
怎么会有这么优美的估计式，如何得到的、。

请看我的有奖征答，那才叫数学完美。

王守恩

接1楼。

S(A)=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...+1/A.

S(A) > ln(A) + 1/(2A) - 1/(12A^2+1) + r.

S(A) < ln(A) + 1/(2A) - 1/(12A^2+2) + r.

其中: r=0.57721566490153286061...

{2.9289682540, 5.1873775176396203, 7.4854708605503449126565, 9.7876060360443822641784779049, 12.090146129863427947363219363504220, 14.392726722865723631381127493188587676645,
16.695311365859851815399118939540451884249869752, 18.997896413853898324417110394223982841850971244970103}      前面8个数=准确值。
{2.9289682571, 5.1873775176396234, 7.4854708605503449126597, 9.7876060360443822641784779080, 12.090146129863427947363219363504223, 14.392726722865723631381127493188587676648,
16.695311365859851815399118939540451884249869756, 18.997896413853898324417110394223982841850971244970107, 21.300481502347944016685101848908346966127072733598880383105,
23.603066594891989700785593303592711173719841722227653359139046244, 25.905651687841035384804409758277075381320942377606426335172374145528166,
28.208236780830581068822409462961439588922043866151874311205702046495739042905, 30.510821873824176752840401000145803796523145354780638954739029947463311652583246913,
32.813406966818177436858392455655168004124246843409411929939107848430884262260599394240907, 35.115992059812218620876383910347782211725348332038184905972352424398456871937951874476905139635,
37.418577152806263854894375365032228919326449820666957882005680317033529481615304354712902344725319522,
39.721162245800309493912366819716593951927551309295730858039008218000268841292656834948899549814917821328083,
42.023747338794355173430358274400958167778652797924503834072336118967841367645009315184896754904516119670051560010,
44.326332431788400856998349729085322375462254286553276810105664019935413977314029295420893959994114418012019344053245806,
46.628917524782446540971341183769686583064180775182049786138991920902986586991380942406891165083712716353987128095532055149150,
48.931502617776492224984832638454050790665290513810822762172319821870559196668733422559563370173311014695954912137818303782560538780,
51.234087710770537909002374093138414998266392084939595738205647722838131806346085902795552242762909313037922696180104552415970064246308291,
53.536672803764583593020320547822779205867493574393368714238975623805704416023438383031549447019257611379890480222390801049379589711391098239548,
55.839257896758629277038307502507143413468595063030391690272303524773277025700790863267546652108772584721858264264677049682789115176473904996215070855,
58.141842989752674961056298507191507621069696551659247166305631425740849635378143343503543857198370874731326048306963298316198640641556711752881358225114465,
60.444428082746720645074289916875871828670798040288020967338959326708422245055495823739541062287969173072460582349249546949608166106639518509547645594213247462808,
62.747013175740766329092281367060236036271899528916793951622287227675994854732848303975538267377567471414428283066535795583017691571722325266213932963312029152291994958,
65.049598268734812013110272821294600243873001017545566927738115128643567464410200784211535472467165769756396067100489544216427217036805132022880220332410810841774902166858468,
67.352183361728857697128264275933964451474102506174339903772268029611140074087553264447532677556764068098363851142774959599836742501887938779546507701509592531257809375184023082207,
69.654768454722903381146255730613828659075203994803112879805604180578712683764905744683529882646362366440331635185061208149921267966970745536212795070608374220740716583509577763051670787,
71.95735354771694906516424718529774286667630548343188585583893216404628529344225822491952708773596066478229941922734745678332246093205355229287908243970715591022362379183513244389547068240582

前面8个数=准确值。要把第9个, 第10个, 第11个准确值搞出来就难了。

第9个, 第10个, 第11个, ..., 利用简单公式就可以出来!  简单公式:   ln(A) + 1/(2A) - 5/(60A^2+6) + r,

当 A = 10时, 8位小数有效。

当 A = 100时, 14位小数有效。

当 A = 1000时, 20位小数有效。

当 A = 10000时, 26位小数有效。

当 A = 100000时, 32位小数有效。
......

1. Table[N[Log[10^A] + 1/(2*10^A) - 5/(60*10^(2 A) + 6) + EulerGamma, 6 A + 5], {A, 99}]

复制代码