话说四色问题——研究四色问题三十年之总结（三）

雷明85639720

话说四色问题（三）
——研究四色问题三十年之总结
雷明
（二0一六年四月三十日）

（接上贴）
25、应该用不画图不着色的方法证明四色猜测：
以后还会不会再出现象赫渥特构造了他自已不可4—着色的图，否定了坎泊；会不会再出现象米勒也构造了他自已不可4—着色的图，否定个他企图用“颠倒法”解决四色问题的想法。这可很难保证。但老是这样反反复复的，那么四色猜测什么时间才能得以证明是否正确呢。所以我认为，这种用着色的方法来证明四色猜测，是属于穷举法之列，是不科学的。科学的方法应该是用图论的方法，不画图不着色的纯理论的证明方法。这种方法有没有，能否证明四色猜测的正确与否，我们来分析如下：
图着色时，相邻顶点要求着不同的颜色，而不相邻顶点着了相同的颜色则是符合要求的。把图中不相邻的顶点同化（收缩）在一起，最终一定可得到一个顶点数不能再少的完全图，这就是图的最小完全同态。由于图的最小完全同态的各个顶点都是由原图中不相邻的顶点同化而来，是代表着若干个不相邻的顶点的，而这些顶点着相同的颜色也是完全可以的。由于完全图的色数就等于其顶点数，所以说图的最小完全同态的顶点数就是原图的色数（哈拉里也得出了这样的结论）。根据这一原理，我们只要证明了平面图的最小完全同态的顶点数是不大于4的，不就可以证明四色猜测是正确的了吗。
26、关于“同化”的理论并对四色猜测进行证明：
一个图中至少有一个顶点数最多的最大团Kn，把最大团的顶点数就叫图的密度。那么，图的最小完全同态KN的顶点数N与最大团的顶点数n的关系是什么呢。设图的某一最大团外对该最大团来说有一条饱和道路Pn，即道路中的每个顶点都与最大团Kn中的同一组的n－2个顶点相邻，道路的两个端点顶点又都与最大团中的另外两个顶点中的一个顶点相邻。这样的道路就叫饱和道路（如图23，图中其他的顶点与边均未画出），因为在这样的道路与最大团间再增加任何边时，图的密度就会发生变大。
若饱和道路中的两个端点顶点与最大团中的那两个顶点分别相邻（如图23的左图），再若道路的顶点数是奇数时，道路中总有一个顶点化同不到最大团中去；若饱和道路的两个端点顶点都与最大团中的那两个顶点中的同一个顶点相邻（如图23的右图），再若道路的顶点数是偶数时，也总有一个顶点同化不到最大团中去。这样的饱和道路我们叫它不可同化道路。还可以看出，道路中的任何一个顶点都是可以作为不可同化顶点而不可同化到最大团中去。

把一条不可同化的道路同化到最大团中去的这一步运算完成后，该最大团已由原来的Kn变成了Kn＋1，说明了图的密度也增大了1。这个图同化的最后结果，最小完全同态的顶点数N也是不会小于n＋1的。一条不可同化道路有一个顶点同化不到最大团中去，那么有多条不可同化道路构成联时，有多少个顶点同化不到最大团中去呢。
由于联中的每条道路的每一个顶点都与其他道路的所有顶点均相邻，所以各条道路中的那个不可同化顶点因其原来就是相邻的，而不可再同化为一个顶点，所以有S条不可同化道路构成联时，就有S个顶点同化不到最大团中去。现在要问，这个构成联的不可道路的条数S，与最大团的顶点数（或图的密度）n，是个什么关系呢。道路中的最大团是K2，则道路的密度也是2。S条道路构成联时，联本身的密度就是S个2相加的结果2S。而这个联只是图的一个分子图，其密度是不可能大于图的密度的，所以有2S≤n，即S≤n/2。这样，图的最小完全同态的顶点数就应是N≤n＋n/2≤1.5n。由于两条道路的联的密度已经是2S＝4了，所以密度是2和3的平面图的最大团K2和K3外最大只可能有一条不可同化道路，其最小完全同态的顶点数也只能是3和4了。

这样以来，按N≤1.5n计算：密度n是1的图的最小完全同态的顶点数仍然是1；密度n是2的图的最小完全同态的顶点数最大也只能是3；密度n是3的图的最小完全同态的顶点数最大也只能是4；密度n是4的图的最小完全同态的顶点数似乎最大可能会达到6；这就是说在图中某个最大团K4外可以有两条构成联的不可同化道路。
但事实上K4团外只要有一条不可同化道路或饱和道路时，图就已经不是平面图了，因为图中已出现了在顶点以外相交叉的边（如图24）。这不仅是因为可以直观的看到交叉边，而且还可以证明，在K4团外有一条饱和道路时，由该K4团和饱和道路构成的分子图的边数是大于该分子图3v－6的，这个分子图就不再是平面图了。
设这条饱和道路Pn的顶点数为n，则：①这条道路共有n－1条边，②其与最大团K4相邻的边数是（4－2）n＋2＝2n＋2条，③K4团的边数是4×（4－1）/ 2＝6；④共计该系统的总边数是（n－1）＋（2n＋2）＋6＝3n＋7条；⑤这4＋n个顶点构成的分子图如果是平面图时，其边数最大只能是e≤3v－6≤3×（4＋n）－6＝3n＋6条，⑥而现在该分子图实际的边数却有3n＋7条，大于3n＋6。⑦所以密度为ω＝4的图中，如果在某一个K4团外，只要有一条道路是饱和道路时，则不管这条饱和道路是否是不可同化道路，这个图就都不是平面图了，而是一个非平面图。⑧所以说任何密度是4的平面图同化时的最小完全同态的顶点数都恒等于4。图的一个分子图不是平面图，该图肯定也就不是平面图了。这就说明密度是4的图的最小完全同态的顶点数只能是4。
到此也就说明了平面图的最小完全同态的顶点数都是不大于4的，也就证明了四色猜测是正确的。密度是1的平面图的色数只可能是1；密度是2的平面图的色数最小是2，最大只可能是3；密度是3的平面图的色数最小是3，最大只可能是4；密度是4的平面图的色数也只可能是4。任何平面图的色数都不大于4。四色猜测得到证明是正确的。
27、米歇尔斯基操作是不会影响四色猜测的证明的：
厦门大学的杨卫华博士提出，由于有米歇尔斯基操作的原因，就“存在着无三角形而色数任意大的图”。所以对我提出的图的色数最大只能是其密度的1.5倍和我对四色猜测的证明有否定之意。这里专门讲一下这个问题。
米歇尔斯基操作简称M—操作，它是对一个顶点数是v的图G，添加一个星点数u＝v的u—星（注意：u—星有u＋1个顶点），把u—星中的u个星点顶点ui与图G中的对应顶点vi的相邻顶点用边连接起来（注意：但ui与vi并不连接），这就是M—操作。M—操作所得到的图的密度（图中最大团的顶点数）不变，但色数却比原图G增大了1。米歇尔斯基操作的目的，就是为了作一个密度与原图的密度相同，但色数却比原图增大1的图。加上M—操作又是可以连续进行的，于是便有“存在着无三角形而色数任意大的图”的说法。

首先我们要知道四色猜测研究的范围是在平面图范围之内的，进行了M—操作后的图，如果不再是平面图，不管它的色数是多少，都与四色问题是无关的。我们通过作图可知（如图25），K4团M—操作后不是平面图，K2团和K3团M—操作后虽仍是平面图，但其中有4—圈或5—圈，从图中可以看出，这两个圈M—操作后的图就都不再是平面图了，所以K2团和K3团就再不能进行第二次M—操作了。所以可以得出结论：除最多只含有一个3—圈的、且非圈部分的“树枝”只有一个顶点的平面图，在进行了M—操作后得到的图仍是平面图外，其余的任何平面图在进行了M—操作后，得到的图都不再是平面图了；而仍是平面图的图再进行了第二次M—操后，得到的图也成了非平面图。它们就都不再是四色问题所研究的对象了。
进行了一次M—操作后仍是平面图的图，其原来的密度和色数最大只是3，在进行了M—操作后，图的密度没有变化，虽然色数由3变成了4，但却是不大于4的。所以说仍然有任何平面图的色数都是不大于4的结论。四色猜测还是正确的，M—操作并不会影响到对四色猜测的证明的。
看来杨卫华博士所说的“存在着无三角形而色数任意大的图”的说法在平面图的范围内是站不住脚的，这一结论只能说在非平面图范围内是有效的。
28、其他几种不画图不着色证明四色猜测的方法：
（一）用图的最小完全同态的亏格小于等于原图的亏格证明四色猜测的方法：
图的亏格是其可嵌入曲面的最小亏格。所谓嵌入即是把图画在某亏格的曲面上，除了在顶点处有边与边的交叉外，其他地方再无边与边相交叉的情况，就说是某图能够嵌入某亏格的曲面上。而曲面的亏格则是在球面上所“焊接”的“环柄”（或穿过孔洞）的个数。可以证明，可嵌入任意亏格曲面上图的最小完全同态的亏格只能是小于等于原图的亏格，而绝不会增大（可见我的《任意图的最小完全同态的亏格不大于其原图亏格的证明》和《平面图最小完全同态的亏格不大于原图的亏格及四色猜测的证明》，网址分别是：两文在这里和《数学中国》网中都有）。例如K5图的亏格是1，其最小完全同态仍是K5图，亏格还是1；而K3，3图的亏格虽然也是1，但其最小完全同态却是K2图，亏格却是0，小于原K3，3的亏格1。因为平面图的亏格都是0，所以平面图的最小完全同态的亏格应该也是0。
已知亏格为0的完全图Kn的最大顶点数是n＝4，所以说平面图的最小完全同态的顶点数最大也只能是4，即平面图的最小完全同态最大只能是一个K4图。又因为图的色数就等于其最小完全同态的顶点数，所以平面图的色数最大也只能是4，而是不会大于4的。这也就证明了四色猜测是正确的。
（二）用多阶曲面上图的色数公式证明四色猜测的方法：
多阶曲面上图的边数与顶点数的关系是：e≤3v－6（1－n）（v≥3），图的最小完全同态是一个完全图，把完全图的边与顶点的关系e＝v（v－1）/2代入其中得v（v－1）/2≤3v－6（1－n），整理后是一个一元二次不等式v2－7v＋12（1－n）≤0，解这个一元二次不等式，得其正根是v≤（7＋√（1＋48n））/2，这就是不同亏格的图的最小完全同态的顶点数。由于图的色数就等于图的最小完全同态的顶点数，所以这也就是多阶曲面上图的色数公式。因为平面图也是多阶曲面中的一种，其亏格是n＝0，而当n＝0时，就有平面图的色数是≤4的结果，这就是四色猜测。四色猜测是正确的。
（三）用平面图的欧拉公式直接证明四色猜测的方法：
任何极大图（v≥3，条件v≥3是因为v＝1和2的图只是完全图而不是极大图）都有3f＝2e（f是面数，e是边数）的关系，把f＝2e/3代入平面图的欧拉公式v＋f＝e＋2中得e＝3v－6（v≥3），因为图的最小完全同太就是一个完全图，把完全图中边与顶点的关系e＝v（v－1）/2代入其中得v2－7v＋12＝0（v≥3），解这个一元二次方程得v1＝4和v2＝3（v≥3），均小于等于4。这就是顶点数v≥3的平面图的最小完全同态的顶点数。而顶点数小于3的K2和K1的最小完全同态仍然是它的本身，其顶点数也是小于4的。所以也就有任何平面图的最小完全同态的顶点数都是小于等于4的结论。又因为图的色数就等于其最小完全同态的顶点数，所以也就有任何平面图的色数都是小于等于4的结论。这也就证明了四色猜测是正确的。
（四）用米歇尔斯基操作法证明四色猜测的方法：
米歇尔斯基操作，也简称M—操作。对一个图进行一次M—操作，则其密度不变，但其色数却增大1。平面图的密度都是小于等于4的，我们可以分别对平面图中的各种团进行M—操作，如果其结果中有仍是平面图的，但其色数又大于4时，则四色猜测就是错误的，否则猜测就是正确的；若操作的结果是非平面图，则就不再是四色问题研究的对象了，其色数是否增大，增大多少，都与四色问题无关。
对平面图的各种团进行M—操作的结果是：K4团变成了非平面图，不再是四色问题的研究对象了，所以最大团是K4团的图的色数仍然是等于4的；K3团和K2团进行一次M—操作后仍是平面图，色数是4和3，但不能再进行第二次M—操作了，否则也就成了非平面图，也不再是四色猜测研究的对象了；K1团不可进行M—操作，因为进行了M—操后，图的密度就增大了。这几个团的M—操作可见前面的25中的图25。
从此可以看出，任何平面图进行了M—操作后，图仍然是平面图的，其色数都是不大于4的，这也就说明了平面图的色数是不会大于4的。四色猜测是正确的。
（五）用数学归纳法证明四色猜测的方法：
用v表示图的顶点数，用γ表示其色数。当v＝1时，一种颜色就够用了，γ＝1＜4；当v＝2时，两种颜色也就够用了，γ＝2＜4；当v＝3时，边数最多时是K3图，是一个极大图，也是一个完全图，两两顶点均相邻，必须用三种颜色着色，γ＝3＜4；当v＝4时，新增加的这第4个顶点，只有位于上面的K3图的一个面内时，最多可以增加3条边，使K3成为一个极大图K4，也是一个完全图，两两顶点也均相邻，着色时四种颜色也就够用了，γ＝4≯4；当v＝5时，新增加的顶点，可以在图中的一个面内，也可以在图的一条边上（如图26），只要图不变成非平面图的情况下，尽可能多的使该顶点与图中的其他顶点相邻，最后都可以成为一个极大图：
若该顶点处在图的一个面中（如图26的左图）时，它只能与三个顶点相邻，它还有除三个顶点所着颜色以外的第四种颜色可着；若该顶点处在图的一条边上（如图26的右图）时，它也只能与四个顶点相邻，按照坎泊1879的证明，这个顶点一定是能着上四种颜色之一的。这就证明了v＝5时的极大图也是可4—着色的，其色数γ＝4≯4。

从图26中还可以看出，不管增加的点是增加在何处，图中都是因增加了1个顶点而增加了3条边和两个面。若再在图中增加顶点，只要图不变成非平面图，所得到的极大图，就一定都是可4—着色的，色数都是γ＝4≯4；当v＝k时的极大图，当然也是可4—着色的，色数仍是γ＝4≯4。
已知在极大图中都有e＝3v－6和f＝2v－4的关系（e是图的边数，f是图的面数），所以这里也应有e＝3k－6和f＝2k－4的关系；当v＝k＋1时，按上面的证明和分折，所增加的这一个顶点不但是可以着上图中已用过的四种颜色之一的，而且图中也因增加了这一个顶点而增加了三条边和两个面。代入上两式得：e＋3＝3（k＋1）－6和f＋2＝2（k＋1）－4，化简后仍有e＝3v－6和f＝2v－4的关系，图仍是一个极大的平面图。到此就证明了任何极大图都是可4—着色的。因为在相同顶点数的平面图中，极大图的边数是最多的，所以边数比极大图少的任意平面图的色数也一定是不会大于4的。这也就证明了四色猜测是正确的。
（六）用不存在最小五色地图证明四色猜测的方法：
按照坎泊的思想，如果不存在五色地图，则四色猜测就是正确的。要证明不存在五色地图，就只要证明不存在最小五色地图就可以了。
先用反证法进行证明：最小五色地图就是一张地图中只有五个区域，且每两个区域都是相邻的地图。由于每一个区域都与其他的四个区域外相邻，所以每个区域就有四条边界线，五个区域共有5×4＝20条边界线，但每条边界都是两个区域所共有，所以该最小五色地图实际上只有20/2＝10条边界线（即图的边数e＝10）。由于地图是一个3—正则图，所以应有3v（顶点数）＝2e（边数），把最小五色地图的边数e＝10代入其中，得到的顶点数v＝20/3，不是整数，而图的顶点数不可能不是整数，这是不符合实际的，出现了矛盾，应否定假设。说明了我们原先所假设的最小五色地图是不存在的。这也就证明了地图四色猜测是正确的。
再用解方程方法进行证明：设最小五色地图的国家（区域）数是f,其中的每一个区域都与别的f－1个区域相邻，即每一个区域都有f－1条边界线，f个区域总共有f（f－1）条边界线。因为每条边界线都是两个区域所共有的，而在这f（f－1）条边界线中每条边界线都是计算了两次的，则这个地图中的实际“边界线”的总条数（即图中的边数）应是e＝f（f－1）/2。又因为地图是一个3—正则的平面图，即每一个顶点都连接着3条边（即所谓的“三界点”），所以该地图的总边数也可以写成e＝3v/2，从而有3v＝2e＝f（f－1）的关系，则有v＝f（f－1）/3。把v＝f（f－1）/3和e＝f（f－1）/2同时代入到平面图的欧拉公式v＋f－e＝2中，则得到f2－7f＋12＝0，解这个关于f的一元二次方程，两个正根分别是f＝4和f＝3，都是小于5的。这就说明了最小五色地图是不存在的，当然五个国家两两相邻的情况也是不存在的。这也就证明了地图四色猜测是正确的。
以上通过两种方法的证明，都说明了最小五色地图是不存在的，那么四色猜测就是正确的。
（七）换一个角度去认识并证明四色猜测：
四色猜测是在给地图的染色过程中提出来的，人们凭经验感觉到任何一个平面图或地图在着色时，最多只要用四种颜色，就可以保证平面图中有边相邻的顶点或地图中有边相邻的区域具有不同的颜色，因而法朗西斯是作为一种猜想而了提出来的。现在人们研究四色问题，完全是出于为了回答该猜想或该命题是否为真的问题而努力的。
现在我们换一个角度，提出四色问题如下：给平面图的顶点或地图中的区域进行染色，使得平面图中有边相邻的顶点或地图中有边相邻的区域具有不同的颜色，最多需要几种颜色就够用了。条件是我们现在头脑里并没有对平面图的顶点着色或对地图的区域着色时，猜想最多四种颜色就可以够用的这一概念。
在这种情况下，首先我们进行分析：任意一个完全图的各个顶点都是互相相邻的，着色时一定要用与其顶点同样多的颜色才能够用。而其它的非完全图中一定有不相邻的顶点存在，那么不相邻的顶点着上同一种颜色也是完全符合要求的。这时我们可以把距离最近（即只相隔一个顶点）的不相邻顶点同化在一起，变成一个顶点，一步一步的把一个非完全图变成顶点数最少的一个完全图。把这个顶点数最少的完全图就叫原图的最小完全同态。
该最小完全同态的每一个顶点都是由若干个不相邻的顶点同化而来的，是代表着原图中若干个不相邻的顶点的，而这些不相邻的顶点用同一种颜色也是完全可以的。因此，用与该完全同态的顶点数相同数目的颜色，一定是可以给该非完全图着色的，这时所用的颜色数也一定是最少的。这个最小完全同态的顶点数就是图的色数。在前面多处我们都已经证明了平面图的最小完全同态的顶点数是不大于4的，所以平面图的色数也就是不会大于4的。这也就证明了四色猜测是正确的。
以上的七种（实际上是八种，因为第六种中是用了两种方法）不画图不着色证明四色猜测的方法，连同26中的用同化理论求图的最小完全同态的方法，共计八种，都是笔者在研究四色问题过程中逐步摸索出来的。我相信象这样的不画图不着色的证明方法还有很多，而且都是可以解决问题的。互联网上很多爱好者所用的不同方法，就说明了这一点。
29、具体的平面图着色色数的确定：
对地图进行着色时，首先把地图要转化成它的对偶图——平面图，然后再按平面图的结构特点确定其色数。这时因为对平面图的顶点着色，比对地图的面着色要容易进行些。图的密度是4时，其色数也一定是4，因为密度是4的平面图中不会含有饱和道路，更不会含有不可同化道路；图的密度是3时，若图中还含有奇轮，则其色数一定是4，因为轮中对于每一个K3团来说，其外的顶点和边就是一条不可同化道路，若不含奇轮，其色数则是3；图的密度是2时，若图中还含有奇圈，则其色数一定是3，因为圈中对于每一个K2团来说，其外的顶点和边就是一条不可同化道路，若不含奇圈，其色数则是2；图的密度是1时，因其外并无任何顶点与边，所以肯定其色数也是1。所有的平面图的色数都是小于等于4的，当然对偶图是某一平面图的地图的色数也一定是不大于4的。没有海洋的月球地图（月图）和没有显示海洋区域的地球地图，其色数一定是小于等于4的。
30、具体的地图着色时几种特殊情况的处理：
以上研究的都是“正规地图”，即是人为的加了一些附加条件的地图，而实际地图中各种情况都是会有的，所以就得要说明这些特殊情况的处理办法。
（一） “海洋国”的处理：
海洋也是一个“区域”，只不过是这个区域不属于任何国家（区域），全区域内全是水，与陆地上的国家有所不同，所以要区别对待。着色时应把海洋看成是与要着色区划的等级同样级别的一个区划。地图的区划等级有：国家级，省级，地级，县级，乡级，村级等。对地图着色完成后，再把海洋区域已着的颜色用另外一种颜色去代替，这样，含有海洋的地图的色数就是小于等于5了（当然，没有海洋的月球地图（月图）和没有显示海洋区域的地球地图，其色数一定是小于等于4的）。海洋本身又是一个“一国多地”的区域，四大洋（包括地中海）是“海洋国”的“本土”，里海，维多利亚湖，坦葛尼喀湖，马拉维湖以及北美的五大连湖等，都是“海洋国”的“飞地”。
（二） “国中之国”的处理：
“国中之国”的现象在地球地图中的确存在，如莱索托就只与南非相邻，梵蒂冈和圣马力诺就只与意大利相邻，斯里兰卡和马尔他就只与“海洋国”相邻等等。这样的国家由于它只与一国相邻，四种颜色，总是有它使用的，所以在着色之前，可以先不去考虑其“存在”，待整个地图着色完成后，反过来再对其着上与其外围国不同的一种颜色就行了。
（三） “一国多地”的处理：
“一国多地”的现象在地球地图中也是的确存在的，如阿塞拜疆，俄罗斯，土耳其，美国和安哥拉等都有两块不相邻的区域，海洋也有多块不相邻的区域，即大面积的海洋和里海等湖泊。有多块不相邻区域的国家中，其中也有某些区域是“国中之国”或“两国夹国”的，如乌兹别克斯坦，塔吉克斯坦，日本和圣马力诺等就是“国中之国”，而阿塞拜疆的一块“飞地”就是“两国夹国”。既是“一国”，着色时就得用同一种颜色，既是“多地”，其在对偶图中就是两个不相邻的顶点，既不相邻就可以同化为一个顶点，着上同一种颜色完全是可以办到的。
（四） “三个以上国家相交于一点”的处理：
正规地图中规定没有三个以上的国家交于一点，但实际上，国家或地区的划界一般都是以地形地物来区分的，如山脉的分水岭，河流等等，可以说是没有大于三个的国家交于一点的。所以说地图中的顶点都是“三界点”，把地图就叫3—正则图。但地图比实际地球要小得多得多，实际中有些相距较近的“三界点”，在“地图”中就可能出现的是“四个国家相交于一点”，出现了“四界点”，这完全是有可能的。这样的情况有多种处理办法：一是这个“四界点”在对偶图中显示的是“圈”，且是4—圈。按平面图着色就行了；二是在这个“四界点”处增加一个“区域”，使其在对偶图中成为一个“4—轮”，着色后，把这个增加的“区域”去掉也就可以了；三是按地球上的实际情况，在地图上把这个“四界点”拉开成两个“三界点”。
（五） “两国夹国”与“三国环国”的处理：
虽在正规地图中虽没有对这两种情况进行限制，但这一情况在地图中的确也是存在的，着色过程中不得不考虑。处于“两国夹国”的国家有：蒙古，尼泊尔，不丹，摩尔多瓦，列支敦士登，安道尔，斯威士兰和阿塞拜疆的一块“飞地”。处于“三国环国”的国家有：卢森堡，波黑，布隆迪，马拉维马拉圭等，还有更多的沿海国家。这两种类型的“国家”也可以在着色前先不加考虑，因为它至少还有两种或一种颜色可着，待整个地图着色完成后，给其着上不同于其外围国的一种颜色就可以了。但这样的地图仍是3—正则图，其对偶图仍是极大图，仍在正规地图的范围之内。
（六） 特殊的南极洲的处理：
南极洲就“国中之国”型的区域，无论怎样也是能着上四种顔色之一的。但南极洲虽是陆地，它却又不同于别的陆地区划。别的任何陆地区划都是属于某一个国家的一部分，而南极洲却不属于任何的国家，也没有长期的常住居民。现在虽有人类在那里开展各种活动，但都是在搞科学研究工作，只是短期的暂住。再加上南极洲是寒带，常年是冰天雪地。所以为了表示其地理气侯的特征，也表示其不同于其他陆地，把南极洲用与画地图的纸一样的白色表示。这样也就可以说地球地图的色数是小于等于6的。
象南极洲这样的特殊地区，不光是一个南极洲，还有位于粕米尔高原顶上的克什米尔非军事区和北美的格陵兰岛无人区，两地又都是高寒地区，用白色也较好。既能反映出该地区是特殊地区，又能反映出其寒冷的气侯特征。
（转下贴）

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