话说四色问题——研究四色问题三十年之总结（五）

雷明85639720

话说四色问题（五）
——研究四色问题三十年之总结
雷明
（二0一六年四月三十日）

（接上贴）
41、把物理学中的“放电理论”和“电荷转移”理论用在图论中是不合适的：
上面的38中我们已经说了，由于阿贝尔他们使用了计算机，给四色问题这个难题本身就更加披上了一件神秘的外衣，而他们又把物理学中的“放电理论”和“电荷转移”理论用到了“产生”和“证明”不可免构形的过程中，就更加使四色问题神秘化了。
阿贝尔说：“如果对于每个k度顶点（即是有k个邻国），我们给它一个荷数6－k，那么度数大于6的顶点（称为主要顶点）就得到负的荷数，只有5度顶点才有正荷数。从肯普的工作可见，任何三角剖分的所有荷数之和正好是12。”这就是我们在前面14中证明地图的不可免集时得到的公式∑（6－i）fi＝12。接着阿贝尔又说：“12这个具体的和数并不很重要。非常重要的是：对于每一个三角剖分而言，这个荷数和是正的。”阿贝尔画了一个图9，是一个所有顶点的度都大于等于5的图，来说明公式∑（6－i）fi＝12是正确的。并再一次定义了“一个顶点的‘荷数’定义为6减去该顶点的度数。”又说：“不难证明；任何地图的总荷数都等于12。这个事实蕴涵：我们证明四色定理时所涉及的每个平面三角剖分中均存在正荷数顶点。”从字面上看，这些还都是能够理解的。
阿贝尔接着说：“现在假设，这样一个三角剖分中的所有荷数被重新分配，但是搬来搬去并不丢掉或增加整个系统的荷数。特别是，假定正荷数从某些正荷（5度）搬到某些负荷（主要）顶点。这些运算肯定不可能改变荷数的（正）和数，但是具有正荷数的顶点却可能改变；例如某些5度顶点可能失掉正荷数（成为去荷顶点），而某些主要顶点却可能取得这样多的荷数，结果它们具有正荷数（成为超荷顶点）。不同的顶点按照所选的去荷手续或重新分配手续而成为去荷顶点或超荷顶点。”“在证明四色定理时，这种对正荷数顶点去荷的目的是要找出一手续，恰当的说明如何移动荷数，以保证在产生的构形中每个正荷数顶点要么属于一个可约构形，要么与之相邻。”这也都是能够理解的。但下面紧接着的“由于由这个手续标志出来的构形必定成为一个不可避免集”就不能够理解了，没有说出为什么嘛。即就是“电荷转移”可以用到图论中来，又怎么能保证“由这个手续标志出来的构形必定成为一个不可避免集”呢。
阿贝尔说：“从每一个5度顶点转移1/5单位的荷数到它的每个主要邻国。相应的不可避免集由两个构形组成：一个是一对5度顶点，由一条棱连接起来；另一个是一个5度顶点，由一条棱连接到一个6度顶点。”这就是上面说的“产生的构形中每个正荷数顶点要么属于一个可约构形，要么与之相邻。”的情况。“这些构形得到如下：一个5度顶点在这个手续终了时具有正荷数，它至少有一个邻国不是主要邻国，所以这个顶点必定保留正荷数；这个顶点或者有一个5度邻国（相应于不可避免集中第一个构形的情况），或者有一个6度邻国（第二个构形）。”“一个6度顶点原来的荷数是0，因而不能接收任何荷数。一个7度顶点在手续终了时具有正荷数，它必须至少有六个邻国都是5度顶点；如果它至少有六个这样的邻国，其中必有两个由一条棱连接起来（不可避免集的第一个构形）。一个8度或更高度的顶点结果不可能具有正荷数，即使它所有的邻国都是5度顶。检查一个8度顶点就可以明白这种情况：它的原荷数是－2，而它能接收的最大正荷数是1/5的8倍，即1又3/5。”仍不能抵销2个负荷数。“于是，这两个（不可约）构形构成一个不可避免集，即是，由于这些计算适用于任何平面三角剖分（任何顶点的度数不小于5），所以每个这样的平面三角剖分都含有这个不可避免集的两个构形之一。”
阿贝尔在这里所说的两个构形就是（5，5）和（5，6）。可他虽然用“电荷转移”理论“产生”了两个所谓的不可免构形（5，5）和（5，6），但却没有看到他是如何证明其是否可约的，而只看到他得出的结论是：该两个构形是不可约的。那么请问：已有两个不可免的构形是不可约的，还能说明四色猜测是正确的吗。能说明你用（5，5）和（5，6）来代替5—轮构形是正确的吗。
从R•柯朗以下的话中，我们可以知道阿贝尔得到他的平面图的不可免集和对他的不可免集中构形的“验证”是分两走的，但都是在计算机上完成的。柯朗说：“1975年，他们（指阿贝尔们——笔者注）设计的程序从搜索状态开始，向目标发起最后的冲击。1976年1月，他们开始构造一个大约有2000个区域（这里用“区域”或译成“区域”都可能是不妥的，似乎应该用“构形”更合适些——笔者注）的不可避免集。这一工作在1976年6月完成。然后他们检验这个集合中每一个构形是否可约，这时必须要用计算机。对哈肯和阿佩尔给出的这不可避免集合中的2000多个构形，计算机尽职地报告出，每一个都是可约的。”这里柯朗所说的是用计算机对2000个图进行“检验”，看其是否可约，而不是“证明”。
至于一个5—度顶点，为什么一次只转移1/5的电荷，阿贝尔并没有说。可阿贝尔又说：“如果修改去荷手续，从每个正荷数顶点转移1/3单位的荷数给它的每个负荷数邻国，就会产生稍好一些的集合。如果转移1/2单位的荷数，则所产生的集合接近于作者的去荷手续的早期说法所产生的集合。”为什么要改修，为什么每次转移的电荷要改成1/3或1/2，都没有讲清楚。且“产生稍好一些的集合”是什么，“去荷手续的早期说法所产生的集合”又是什么，也都没有说清楚。
在王树禾先生的《图论》一书中，有一个用“电荷转移”理论证明（5，5）和（5，6）是不可免集的证明。其在2004年的第一版中说，当顶点度是k≥7的主要顶点时，“这种k次顶所获电荷最多为k/5”，由于其后的公式推导有错误，读者提了出来；所以在2009年的第二版中却改变成了“这种k次顶所获电荷最多为k/10”。对于这样一个很严肃的和科学问题，难道说想改就改了吗。
明明阿贝尔已经说了“对于每一个三角剖分而言，这个荷数和是正的。”且“一个三角剖分中的所有荷数被重新分配，但是搬来搬去并不丢掉或增加整个系统的荷数。”“这些运算肯定不可能改变荷数的（正）和数，但是具有正荷数的顶点却可能改变”。可王先生书中却以某些k≥7的顶点的荷数小0，推得整个三角剖分系统中的“总电荷量是负的，不是12。”为由，莫名奇妙的得出“（5，5）和（5，6）是不可避免集”。为什么整个三角剖分系统的“总电荷量”“不是12”，就是不可避免集呢，王树禾先生却并没有提及任何一字。难道不进行“电荷转移”，三角剖分中的k≥7的顶点原来的电荷数不就都是小于0的吗，为什么不直接说这个三角剖分也就是不可免集呢。这是不能叫人信服的，也不能不叫人对在图论中，在着色中，在证明四色猜测中，在寻找不可免集中，在证明构形是否可约中引用物理学中的“放电理论”和“电荷转移”理论有很大的怀疑，是否能行得通的问题。
42、阿贝尔《四色地图问题的解决》一文中矛盾百出
前面我曾对阿贝尔的此文进行过评论，谈到其中矛盾的地方，现在看来还有必要再专门谈一谈。
（一）首先文章的题目——《四色地图问题的解决》——就不合理。四色地图问题与地图四色问题并不是一回事。四色地图问题应是指只用了四种颜色着色的地图的有关问题的，即是象许寿椿教授的《图说四色问题》一书中所谈用了四种颜色着色的图的一些性质等，但文中却并没有涉及这一方面的任何问题；而地图四色问题则是指任何地图着色时，四种颜色就够用了的问题，该文主要就是针对这一问题而论述的。我为什么说这两者不是一回事呢，因为地图不光有四色的，还有三色的，二色的。比如蒙古国的地图，只对国家级区划染色时，就是三色的，因为其外还有夹着其的并且是相邻的两个国家中国和俄罗斯；莱索托的地图，也只对国家级区划染色时，只是二色的，因其外也还有包围其的南非国。但这些地图的色数都是小于等于4的，都是在四色猜测结论的范围之内的；而四色地图问题则只是四色猜测范围内的一种地图。所以我说这个题目《四色地图问题的解决》是有问题的，是文不对题的。至于原文是这样，还是翻译的原因而产生，就不再去细追了，总之题目是有一定的问题。
（二）阿贝尔用了（5，5）和（5，6）来代替5—轮构形，认为（5，5）和（5，6）都是“不可免的”“构形”，（5，5）和（5，6）是“不可免集”，但却得到了这两个“构形”是“不可约”的结论。既然这两个“不可免的”“构形”是“不可约”的，就应该得出结论说四色猜测是不正确的；但他却没有，而只是说“我们解决了四色问题”和“四色定理得到证明”，“解决”和“证明”的结果和结论是什么，一概不提。爱怎么理解就怎么理解吧。你们认为猜测得到了证明是正确的，四色猜测的证明是我的功劳；你们认为猜测仍然没有得到证明正确与否，我也没有说我们证明了猜测是正确还是不正确。总之，总是有退路的。
（三）阿贝尔得到了一个由近2000个元素构成的“可约构形的不可免集”，意思是说由这近2000个“构形”构成的“不可免集”中，每一个构形不但是“不可免”的，而且都是“可约的”；但同时又证明了（5，5）和（5，6）也是“不可免集”，并且得出这两个所谓的“不可免”“构形”是“不可约”的。那么请问，该以那个结论为准呢，应该相信那个是正确的呢。以近2000个“构形”的“不可免集”为准吧，可以得出四色猜测是正确的；以（5，5）和（5，6）的这个“不可免集”为准吧，又可得出四色猜测是不正确的。道底那个“不可免集”是正确的呢，四色猜测是否是正确的呢。仍然不能确定。
（四）阿贝尔的两个“不可免集”之间，道底是什么关系呢。即其单独就是平面图的不可免集呢，还是两个集合的并集才是平面图的不可免集呢。这一切都没有交待明白。若两个不可免集是单独的，那么最后就得出了两种不同的结果。请问，道底该说四色猜测是正确呢，还是不正确呢。为什么又会有两个不同的“不可免集”呢。若两个不可免集的“并”才是平面图的不可免集，那么，由于其中的（5，5）和（5，6）是“不可约”的，这根本就不可能得出四色猜测是正确的结论，为什么他们却又要在1976年，急着宣布他们用电子计算机证明了四色猜测是正确的呢。
（五）现在再谈谈“可约的不可免集”这一术语的问题。这里的主要名词是“不可免集”，“可约的”只能认为是其定语，是对“不可免集”一词的修饰词。由于“可约”与“不可约”只是对单个构形而言的，只能说某构形是可约还是不可约；“可约的不可免集”给人的印象却是，好象还应有“不可约的不可免集”存在，若真是这样的有“不可约的不可免集”存在，那肯定的说，四色猜测就是不正确的了。所以我认为，阿贝尔的那个“可约的不可免集”的术语，应该用两句话来表达才较合适一些：即由近2000个“构形”构成了平面图的“不可免集”，该集中的各个构形都是“可约”的。这样表达是比较合适的。而阿贝尔的表达却是“我们完成了构造可约构形的不可免集的工作；四色定理得到证明。”这样表达显然是不合适的。应该说成是：“我们完成了构造不可免集的工作，并且证明了该集合中所有的构形都是可约的；四色定理得到证明。”
（六）我不知道，阿贝尔既然得出了（5，5）和（5，6）都是不可约的结论，那么他又在写《四色地图问题的解决》一文时，为什么还要把这样的结论写到文章里面去呢。这对他的证明能起什么作用呢，又能有什么好处呢。这不等于是有意的留下一个尾巴，让人们提出质凝吗。不能因为Wernicke提出了用（5，5）和（5，6）来代替5—轮构形，就非得一定要用在自已的证明中嘛。使用的目的本来是为了“不直接”对5—轮构形进行证明是否可约，就能得出四色猜测是正确的这一结论，但得出的结果却并不能达到目的，为什么还硬要把它写了进去呢。阿贝尔的目的是想说明他的证明是正确呢，还是想说明他的证明是不正确的呢。这的确是没有办法让人理解的。


附录：有关四色问题的几则趣事：
（一） 四色问题也曾被人一度轻视：
四色猜测这个难题也曾一度被人轻视。1886年，克利夫顿（Clifton）学院的教师把四色猜测的证明让学生当作习题来做，而且还要求答卷不得超过三、四页纸。这也真是太小看四色猜测证明的难度了。
（二） 狂妄的人——闵可夫斯基：
1902年秋天，爱因斯坦的数学老师闵可夫斯基（Minkowski，俄国和德国数学家，1864—1909）给学生教授拓朴课。一天，他刚一进教室，一个学生就递上一个纸条：说“如果地图上有共同边界的国家都涂上不同的颜色，那么一幅地图只用四种颜色就够了，你能解释其中的道理吗？”闵可夫斯基笑了笑说：“四色问题只所以还没有得到解决，是因为世界上一流的数学家都没有花大功夫去研究它。”兴之所至，闵可夫斯基当堂课就马上证明了起来。他一连写了好几黑板，仍然没有证明出来。下课铃响了，只有遗到下一节课继续证明。此后接连好几天，他的拓朴课上，同样都是写满了几黑板，仍旧是没有证明出来。他开始感到自已身陷泥沼。有一日，他正在课堂上证明时，突然天上一声霹雳雷鸣，风雨大作。这时闵可夫斯基顺势知趣的对学生说：“上帝在责备我的狂妄，我们还是返回来上我们的拓朴课吧。”
（三） 有遗传的“四色病”
图论专家哈拉里（Harary）把四色猜测戏称为“四色病”。说它很容易传染，有时还会是恶性的或慢性的，并且还没有发明一种预防针能对付它的传染。它会反复发作，有时甚至令人痛苦非凡。这个病至少已经观察到了一次从父亲传到儿子两代人的事，所以他还具有遗传性。
（四） 加德纳的玩笑
1975年美国著名科学专栏作家加德纳（Gardner）在《科学美国人》杂志上发表了一篇文章，文中给出一个人为设计的地图，称为加德纳图（由于图中的相邻关系较复杂，其中有115个区域，其对偶图中有4度顶点2个，5度顶点19个，6度顶点90个，7度顶点2个，没有8度顶点，9度顶点1个，10度顶点1个，顶点的度次序列为425196907291101，6度顶点达到90个，占总顶点数115个的78%。所以在这里就不画图了。）。加德纳说该图是一个不能用4种颜色着色的地图，并且说该图是从一位图论专家发给某专业杂志的文稿里抽出来的。加德纳在通篇文章中的叙述都是严肃的、正式的、认真的。但为什么说加德纳发表这个图又是一个玩笑呢，只因为论文发表的日子是当年4月1日，正是西方的愚人节，所以有人把这个图又叫做“愚人图”。这个加德纳地图曾被美国的一些大学选做计算机专业或数学专业学生的竟赛题或实习题以征求答案。但是在很长的时间里见不到应征者对该图的具体4—着色解答。最近几年，在网络上开始见到有人公布该图4—着色的文章，我国中央民族大学的教授许寿椿先生曾在1998年发表过关于该图4—着色的一些结果。本书作者也对其进行了4—着色。

雷  明
二○一六年四月三十日于长安

注：此文已于二○一六年五月二十日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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