设 a,b,c 都是正整数，满足 a^2+b^2=c^2 ，证明：当 a 是质数时，必有 a^2=b+c

夜之魇

已知a，b，c为直角三角形三边，a的平方加b的平方=c的平方，那么若a为质数，a的平方=b+c

luyuanhong

题   设 a,b,c 都是正整数，满足 a^2+b^2=c^2 ，证明：当 a 是质数时，必有 a^2=b+c 。

证  从 a^2+b^2=c^2  可得  a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b) 。

    因为 a 是质数，所以 a^2 要分解为两个正整数的乘积，只有两种可能：

   或者是分解为 a^2=a×a ，或者是分解为 a^2=a^2×1 。

   如果分解为 a^2=a×a ，则必须有 c+b=a ，c-b=a ，即必须有 c=a ，b=0 ，

   但这与已知 b 是正整数发生矛盾，所以这种情况不可能。

   如果分解为 a^2=a^2×1 ，由于 c+b＞c-b ，所以必有 c+b=a^2 ，c-b=1 。

   这样就证明了 a^2=b+c 。

   顺便说一句，从 c+b=a^2 ，c-b=1 可以推导出 b=(a^2-1)/2 ，c=(a^2+1)/2 。

数想记

此题的证明有谬论！c的平方减b的平方有可能是两个以上的乘积为什么只有两种

awauki

回复楼上：请注意条件，a是质数啊，只可能是如上两种情况。

数想记

它的逆定理如果成立！那么质数公式将诞生请阁下回复！如果是这样！那么哥猜得证