|
|
楼主 |
发表于 2016-6-5 11:03
|
显示全部楼层
说明：近年来，不断有国内学者、大学数学系教授来信、来电与易衍文联系，表示愿意一起交流、探讨相关数论研究问题。而我的父亲已经去世，故此次发文供数学研究者、爱好者们共同学习、参考。此论文作者的研究成果已于80-90年代多次递交给北京中科院数学研究所；并将其心血之作，敬献给父亲原在广州军区42军124师372团的老首长团长李小平同志留作纪念；老首长李小平给我父亲回赠了一套高级的紫砂壶茶具作为纪念。
墨森尼质数判定定理
作者：易衍文
—————————————————————————————————
前言：
人类在寻找质数的道路上，走过了两千多年漫长而崎岖的道路。至今为止，已知的墨森尼质数只有31个。
西方国家，不惜采用巨型电子计算机寻找质数。由于数学方法没有解决，巨型机不能“自创”数学方法，所以，计算结果并不可靠。
根据筛法原理：非B即A，我们解决了世界上又一个数学难题：《如何寻找墨森尼质数》。
电子计算机编制程序需要改造。我国数学研究方法要走在世界前列，才能拥有第一流的电子计算机产品。
通讯地址：四川省万县市西山路6号
邮政编码：634000
墨森尼质数判定定理
人类在寻找质数的道路上，走过了两千多年漫长而崎岖的道路。数学家墨森尼猜想：在2P-1型数中，如果P是质数，则2P-1是质数。
这个猜想没有成功。人们发现其中也有复合数。
如：23|211-1； 47|223-1；
这种复合数，被称为墨森尼复合数。
人们在继续探索，然而收效甚微。至今为止，已知的墨森尼质数只有31个（M32不可靠）。
西方国家，不惜采用电子计算机寻找质数。然而，由于数学方法没有解决，巨型机不能“自创”数学方法，所以，其结果并不可靠。
质数，是不是“不可认识”呢？当然不是。
质数就是指不能被整除的数。
筛法原理，告诉我们一个简单的道理：在一定范围内，划掉全部能被整除的数（复合数），剩下的就是不能被整除的数（质数）。
我们不难设想，在2P-1型数中（P是质数），只有两种可能：不是合数，便是质数（非B即A），二者必居其一。
现在，我们进行反向思考，掉转方向，去研究墨森尼复合数。合数的问题搞清楚了，质数的问题也就解决了。这个道理，应当是非常明白的。
合数的规律比较容易认识。人们已知：
在2P-1型数中，如果P是质数，2×P+1=q,q也是质数，则墨森尼合数产生于这个条件之中。
有数学语言表达如下：
q|q-1/22-1;q-1/2=q;2×P+1=q; （p、q都是质数）。
符号说明：“|”表示能整除；“|”表示不能整除。
这个表达式的含意如下：
1. 它只表示墨森尼合数，“产生于这个条件之中”。
2. 它不是墨森尼合数公式。在满足这个条件时，仍有质数，也有合数。
3. 但不符合这个条件的，一定不是墨森尼合数，而是质数。（非B即A），
这个“非B即A”的道理是很简单的，然而却解决了识别质数的理论基础问题。
现在，为了使问题更为清晰，我们把合数加以区分：
（1） 普通合数。在2P-1型数中，如果P不是质数，则为普通合数。如235-5；（35不是质数），是普通合数。
（2） 墨森尼合数。即满足“2 ×P+1=q,p、q是质数”这个条件时的合数，如：23|211-1，是墨森尼合数。
（3） 特种墨森尼合数。通过我们研究发现：在“8 ×P+1=q和10 ×P+1=q,p、q是质数”时的合数。
如：233|229-1 （8 ×P+1=q）；
431|243-1 （10 ×P+1=q）；
这两种合数为数不多，较易识别。
现在，寻找质数的问题还没有解决，但却把范围大大地缩小了。通过大量分析、计算，我们终于发现：墨森尼合数，只产生于以下三个条件中：
第一条件：当P=20m+11 q=2 ×p+1
第二条件：当P=20m+19 q=2 ×p+1
第三条件：当P=20m+23 q=2 ×p+1
P、q是质数，m>0，是整数。∵ ∴ × |
这三个条件，我们称之为墨森尼合数“隧道”（数列），它的含意是：可以无限延伸。
墨森尼合数，必须满足以上条件，如果：
（1） p是质数，2 ×p+1≠q,即2 ×p+1不是质数，这时不是墨森尼合数。非B即A，那便是质数。
（2） p是质数，2 ×p+1=q,q也是质数，但不在三条墨森尼合数“隧道”数列上，这时仍然不是墨森尼合数。非B即A，那便是质数。
现在，墨森尼合数的面目已经完全清楚了。按照三条“隧道”数列，去寻找墨森尼合数也就容易了。
例：第一条”隧道”数列上的墨森尼合数有：
23|211-1；263|2131-1；383|2191-1；503|2251-1等等；
863|2431-1;983|2491-1;1823|2911-1……等等。
第二条“隧道”数列上的墨森尼合数有：
47|223-1；167|283-1；887|2443-1；1367|2683-1；1487|2743-1；2207|21103-1；2447|21223-1；3167|21583-1….等等；
第三条“隧道”数列上的墨森尼合数有：
359|2179-1；479|2239-1；719|2359-1；839|2419-1；1319|2659-1；1439|2719-1….等等。
两种特殊的墨森尼合数：
（1）8 ×p+1=q p=80m+29 (p、q是质数)，在q<10000以内，只有233|229-1是唯一的。
其他，如：1193|2149-1；2153|2269-1；3593|2449-1；3833|2479-1；4073|2509-1；4793|2599-1……等等，都不是合数，而是质数。
（2）10×p+1=q,p=400m+43 (p、q是质数)，在q <10000 以内，有：431|243-1；8831|2883-1是合数。
除了两种特殊墨森尼合数外，“4×p+1=q,p、q是质数”和“8×p+1=q, p、q是质数”。这两个条件都不产生合数。
通过大量分析和计算得知：
（1）“4×p+1=q,p、q是质数”，它们的可整除式是：
q|24p-1 和q|22p+1;
如：269|24×67-1 269|22×67-1，
∴ 269|267-1
又如：389|24×97-1，389|22×97+1，
∴ 389|297-1；
（2）“8×p+1=q, p、q是质数”，它们的可整除式是：
q|28p-1 和q|24p+1;
如：137|28×17-1； 137|24×17-1；
∴ 137|217-1；
857|28 ×107-1；857|24 ×107+1；
∴ 857|2107-1。即857不能被2107-1整除。
现在，我们作最后的归纳：
从一个很简单的道理，“非B即A”中，我们解决了世界上一大数学难题。我们通过反向思维，弄清了墨林尼合数的情况，从而引导出墨林尼质数判定定理。
[定理一]：“当P是质数，且末位数是7时，则2p -1必是质数”。
这是∵凡末位为7的质数2×p +1，末位是5，如：2×17+1=35，∵2×p +1不是质数,
∴ 不在产生墨森尼合数条件之中，非B即A，故而是质数。
如：217-1；237-1；247-1；267-1；297-1；2107-1；2127-1；2137-1；2157-1；2167-1；2227-1等等，都是质数。
[定理二]：“当P是质数，末位数是1、3、9时，如果2×P+1不是质数（2×P+1≠q）,则2p-1也必然不是合数，非B即A，而是质数”。
如：28191-1，过去被人们误认为是合数，而又提不出任何根据，现在我们得知：2×P+1=2×8191+1=16383，而16383=3×43×127是合数（2×P+1≠q），故不是合数（非B即A），而是质数。
（但是：必须注意如：243-1，虽然2×P+1=2×43+1=87，87不是质数，但是它属于特殊墨森尼复合数列，431|243-1）；
[定理三]：“当P是质数，2×P+1=q、q是质数,但不在墨森尼复合数列“隧道”上，则2p-1不是墨森尼合数（非B即A），而是质数”。
如：289-1；2×p+1=2×89+1=179是质数，但m=89-29=70不在“隧道”上，(隧道数列m=20、40、60、80、100、……),
∴ 289-1是质数。
（但是，必须注意，如229-1，2×29+1=59是质数，它不在墨森尼合数数列隧道上，而在特殊墨森尼合数之列，我们得知：233|229-1，是合数）。
按照以上三条定理，不难看出：在2P-1型数列中，质数是非常之多的。如：
P=13 2×13+1=27 ∴ 213-1是质数；
P=17 2×17+1=35 ∴ 217-1是质数；
P=19 2×19+1=39 ∴ 219-1是质数；
P=31 2×31+1=63 231-1是质数；
P=37 2×37+1=75 237-1是质数；
P=61 2×61+1=123 261-1是质数；
P=73 2×73+1=147 273-1是质数；
P=101 2×101+1=303 2101-1是质数；
…
P=103、p=107、p=109、p=1279、p=2023…..都是质数。
掌握以上定理，我们不仅能够找到大量质数，而且能够判别数值非常之大的质数。这是当代巨型电子计算机的功能所不及的。如：
Mm19=2524287-1这个数，过去被人们误认为是合数，其实是质数。
∵ 219-1=524287是质数，且末位数为7，
∴2524287-1（共157287位）是质数；
Mm31=231-1是质数，
∵ 231-1=214748647是质数，末位数是7，
∴ 221478647-1（共64424595位）是质数。
“在2P-1型数列中（如果P是质数），则质数是非常多的”。这个判断似乎太出人意料之外，然而它却是符合客观事实的。
现在，我们回到起点，对墨森尼猜想进行分析：
（1） 墨森尼猜想形成的构思：
∵一切质数q,都能整除2q-1-1,如：
17|216-1； 19|218-1； 8191|28190-1；而q-1不是质数。
现在规定：P是质数，故而判断：一切质数q 都不能整除2P-1。
∴ 猜想：当P是质数时，2P-1是质数。
（2） 墨森尼猜想的失误：
是由于上述判断不周密而产生。
∵ 有些质数q能够整除2p-1，
条件是：2×P+1=q,即p=q-1/2, （p、q是质数）；
如：2×11+1=23， 11=23-1/2。
这时，出现了合数，即墨森尼合数。
（3） 墨森尼猜想规定P是质数，这个条件，实际上已经排除了大量的合数（即普通合数），而未能排除的仅是少数的合数（即墨森尼合数）。
通过以上分析，非常清楚地得知：
在2P-1型数中，如果P是质数，则大多数是墨森尼质数，而少数的是墨森尼合数。
我们取：N-0839型数进行“大质数指数筛法”验算（调制筛法表，通过计算划掉合数）。在N=1、2、3、…..100，共100个奇数中发现：
（1） 墨森尼质数22个。它们是：230839-1； 250839-1；2120839-1；……2990839-1；共22个。
（N=3、5、12、14、20、21、29、32、33、38、45、50、57、59、69、71、77、78、81、83、95、99共22个质数）。
（2） 墨森尼合数2个，它们是
961679|2480839-1；
1681679|2840839-1；
（3） 普通合数，共76个，其中：1992年英国原子能局公布的：M32=2750839-1，在普通合数之列。
∵ 750839=17×29×1523不是质数（不等于P）,
∴ 2750839-1不是质数。
它的位数计算为：227832位也是错的，正确的计算结果当是225252位。
可见巨型电子计算机的计算结果仍然不可靠，因为没有从数学方法上解决。
我们还可根据《末三位数判定法》判定：
28191-1 末三位数是：447；
2750839-1 末三位数是：887；
……
关于2n-1型数位计算问题和《末三位数判定法》，笔者另文论述。
发文者注：文中2的n次方指数没有显示出来！
附：易衍文同志简历：
易衍文（易法茂、易茂林）：世界语笔名： Densa Arbaro I、男、汉族、1929年7月生，重庆市万州人。1949年12月志愿入伍，参加中国人民解放军，在42军军政干校（又名《唐山干校》）学习马列主义，校址：黑龙江省洮南县。1950年6月，参加“中国新民主主义青年团”。1950年10月参加中国人民志愿军出国“抗美援朝”。
入朝期间，历任连队文书、文化教员、372团政治处宣传股工作员，124师后勤军需供应科食品主办科员。历经1-4战役后，因患“癍症伤寒病”回国治疗，约四个月后再次入朝参战。1952年12月底随部队回国。
1953年1月起，历任124师炮兵司令部一级文书、炮兵504团野炮营侦测排长。经锦州炮校培训（学习测量学）后，任42军军属炮兵第147团作战训练参谋。1953年11月加入中国共产党。
在任作战参谋期间，曾参加福建前线“炮击金门”战斗；曾参加郑州炮校进修（学习射击理论）；曾被聘任《人民炮兵》杂志社特约通讯员；曾被炮兵学院借调任射击理论教员；曾参加广州军区与中山大学合作的“科研项目”；曾参加广州军区组织的“军、师两级首长司令部作战指挥演习”等活动。
1963年6月，响应党中央、国务院号召转业“支商”，任“中国食品总公司四川省万县分公司”财务科长，转业时为上尉军衔，行政19级，1984年晋升为18级，获会计师职称。1990年1月1日退休。系世界语者、数论研究者，2013年8月3日因患肺癌去世，享年83岁。
地址：重庆市万州区北山路摩天巷9号3-503室
电话：023-58350816
邮编：404000
|
|
IP卡
狗仔卡
发表于 2016-6-5 11:00
提升卡
置顶卡
沉默卡
喧嚣卡
变色卡
显身卡
