一道题甲解出的概率为 0.4 ，乙解出的概率为 0.5 ，甲乙相互独立，求一些有关的概率

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

Ysu2008

某题甲解出概率为0.4，乙解出概率为0.5，甲乙相互独立，求：
（1）两人同时解出的概率
甲乙同时解出=0.4×0.5=0.2

（2）恰有一人解出的概率
甲解出乙解不出+乙解出甲解不出 = 0.4×0.5+0.5×0.6=0.5
或 P(甲 U 乙)-P(甲乙) = 0.4+0.5 - 0.4×0.5 - 0.4×0.5 = 0.5

（3）至少一人解出的概率
题目1,2之和 = 0.2+0.5=0.7
或 P(甲 U 乙) = 0.4+0.5-0.4×0.5=0.9-0.2=0.7
或 1-甲乙同时解不出 = 1-0.6×0.5=0.7

（4）已知恰有一人解出，求由甲解出的概率
设事件A为{由甲解题}，事件B为{恰有一人解出题}

由乘法公式: P(A | B)=P(AB)/P(B)     -------(a)

由于甲乙二人同时解题，所以 P(A)=1
事件A发生时事件B发生的概率为 P(B | A) = 0.4×0.5 = 0.2 （甲解出×乙解不出）
所以 P(AB)=P(A)×P(B | A) = 1×0.2=0.2
由题目2  P(B) = 0.5

将以上代入(a)式:  P(A | B)=P(AB)/P(B)=0.2/0.5=0.4

需要说明下：我先模拟计算找到题目（4）的答案后，再用乘法公式强行“拼凑”了这个解法，总感觉牵强，求简洁直白严谨的解答过程。

luyuanhong

谢谢楼上 Ysu2008 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

luyuanhong

luyuanhong

Ysu2008

luyuanhong 发表于 2016-6-12 09:38

谢谢陆老师悉心指导。

dodonaomiki

老师，能否请教一问题：
YSU解答中的一个问题！

请见图示，
谢谢！谢谢！

Ysu2008

dodonaomiki 发表于 2016-6-14 13:12
老师，能否请教一问题：
YSU解答中的一个问题！

事件A：{由甲解题}
因为甲乙两人互不干涉，同时解题，{由甲解题}必然会发生，所以 P(A)=1

luyuanhong

第 2 楼中的说法和做法确实不太妥当。我认为比较正确的说法和做法是：

设 A 为 “甲解出” 的事件，B 为 “恰有一人解出” 的事件。

AB  是 “甲解出而且只有一人解出 ” 的事件，这相当于 “甲解出，乙未解出” 的事件。

所以， 直接就可以得到 P(AB)=0.4×(1-0.5)=0.4×0.5=0.2 。

如果一定要像第 2 楼那样，先求 P(A) 和 P(B|A) ，再乘起来得到 P(AB) ，则有

P(A)=0.4 ，P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.4×(1-0.5)/0.4=0.5 。

所以 P(AB)=P(A)P(B|A)=0.4×0.5=0.2 。

dodonaomiki

luyuanhong 发表于 2016-6-14 14:42
第 2 楼中的说法和做法确实不太妥当。我认为比较正确的说法和做法是：

设 A 为 “甲解出” 的事件，B 为 ...

谢谢陆老师的进一步指导，我好好领悟领悟