一道竞赛题的探讨

195912

题: x 是在 [-2,1] , 不等式 ax^3-x^2+4x+3>= 0 恆成立, 求實數 a 的取值範圍 ?
解:因为
        ax^3-x^2+4x+3≥0,x∈[-2,1]
由于，x=0时，
        ax^3-x^2+4x+3≥0,
成立，不失一般，可设
        f(x)=(x^2-4x-3)/x^3 ,x≠0,
令
         t=1/x
则
       f(t)=-3t^3-4t^2+t
所以
       f ' (t)=-9t^2-8t+1
显然，f ’(t)的对称轴为
       t=-4/9
f ’(t)的零点为
       t_1=-1,t_2=1/9
所以，f ’(t)在闭区间[-1,-1/2]是增函数，即f(x)在闭区间[-2,-1]是减函数，f ’(t)在区间(-∞,-1)是增函数，即f(x)在区间(-1，0)是减函数,所以，当
         t∈ (-∞,-2]
时，f  (t)有拐点，这时
       t=-1,f ' (t)=0,
也就是说，当
          x∈ [-2，0)
时，f(x)有极值，即
          x=-1,f(-1)=((-1)^2-4(-1)-3)/(-1)^3 =-2
所以，有
           a≤-2,
又，f ’(t)在区间(0,1)是减函数，即f(x)在区间(1，+∞)是增函数，f ’(t)在区间[1，+∞)是减函数，即f(x)在区间(0，1]是增函数,所以，当
         t∈ [1，+∞)
时，f  (t)有极值，即
          t=1,
          f '(1)=-16
也就是说，当
          x∈ (0,1]
时，f(x)有极值，即
          x=1,f(1)=(1-4-3) =-6
所以，
           a≥-6,
综上所述，当x∈ [-2,1]时，有a∈[-6,-2].

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