正多面体种类的又一证明方法

雷明85639720

正多面体种类的又一证明方法
雷  明
（二○一六年七月三日）

地图是一个3—正则的平面图（顶点数v≥3），地图中至少含有一个边界条数小于等于5的国家，也就相当于3—正则平面图中至少存在一个边数小于等于5的面。证明如下：
在一个3—正则的平面图中，若用fi表示有i（i≥2）条边的面数，则图中的面数为f＝∑fi，边数则为e＝{∑（i•fi）}/ 2，由于3—正则图中的顶点全是3—度顶点，应有的3v＝2e的关系，所以该3—正则图中的顶点数v＝｛∑（i•f）i｝/ 3。
把v，f，e代入平面图的欧拉公式v＋f＝e＋2中得
｛∑（i•fi）｝/ 3＋∑fi＝｛∑（i•fi）｝/ 2＋2
两边同乘以6得
2｛∑（i•fi）｝＋6∑fi＝3｛∑（i•fi）｝＋12
化简后得
6∑fi－∑（i•fi）＝12
变形得
∑（6•fi）－∑（i•fi）＝12
即
∑{（6－i）fi}＝12
也即
（6－2）f2＋（6－3）f3＋（6－4）f4＋（6－5）f5
＋（6－6）f6＋（6－7）f7＋……＋（6－i）fi＝12
或者
4f2＋3f3＋2f4＋f5―f7―2f6―3f9―……―（6－i）fi＝12
上式第四项以后全是负数，公式右边又等于12，是正数。所以要保证公式左边也是正值时，公式左边的前四项中就必须至少有一项的系数（个数）是不等于0的。这就说明了3—正则的平面图中，至少有一个面的边数是小于等于5的，或者说在3—正则的平面图中，边数小于等于5的面，至少要存在一个，也即至少有一个这样的面的个数是不为0的。
以上这个公式除了说明地图中至少存在一个边界条数小于等于5的国家外，还可以用来证明正多面体的种类。
由于任何多面体都对应着一个图，而简单的多面体则对应着一个平面图，正多面体对应的图应是所有面都是同边数的多边形面。当公式∑（6－i）fi＝12中只有一项时，即图中全都是相同边数的面时，就是正多面体。由于多面体的面不可能是2边形的，又因为当i＞5时，（6－i）成了负值，所以这里i分别只能取值是3，4，5三种：
当i＝3时，（6－3）f3＝12，f3＝12/3＝4，即有4个3边形面，是一个正四面体，每个顶点都连有3条边；
当i＝4时，（6－4）f4＝12，f4＝12/2＝6，也即有6个4边形面，这是一个正六面体，每个顶点也都连有3条边；
当i＝5时，（6－5）f5＝12，f5＝12/1＝12，也即有12个5边形面，这是一个正十二面体，每个顶点也都连有3条边；
由于图的对偶图的顶点数就是原图的面数，而对偶图的面数则是原图的顶点数；又由于正多面体的面都是同边数的面，各顶点都连有相同数量的边；所以应该有正多面体的对偶图也是正多面体的结论；还由于3—正则图的对偶图是极大图，极大图的面均是三边形，所以也应该有正四面体，正六面体和正十二面体的对偶图也是所有面都是三边形的正多面体：
正四面体是一个K4图，K4图又是一个自对偶图，所以正四面体的对偶图仍是正四面体；
正六面体的对偶图的顶点数是6，面数是8，各面都是3边形面，每个顶点都连着4条边，这是一个正八面体；
正十二面体的对偶图的顶点数是12，面数是20，各面也都是3边形面，每个顶点都着5条边，这是一个正二十面体。
到此，证明了正多面体只有以上的五种：即正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体。

雷  明
二○一六年七月三日于长安

注：此文已于二○一六年七月三日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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