赫渥特地图着色公式是能适应亏格为0的平面图的

雷明85639720

赫渥特地图着色公式是能适应亏格为0的平面图的
雷  明
（二○一六年七月二十二日）

1、赫渥持的地图着色公式是可以直接推导出来的
我们虽然不知道赫渥特是怎么得到他的地图着色公式的，但我们却是可以进行严密的数学推导而得出该公式。
推导的依据：已证明是正确的哈得维格尔猜想指出：“每一个连通的n—色图都可收缩到Kn（哈拉里《图论》）”，以及任何图的色数都等于其最小完全同态的顶点数（哈拉里也有同样的结论）。
因为多阶曲面上图的边数与顶点数的关系是：
e≤3v－6（1－n）（v≥3）
式中n是图和曲面的亏格，而图的最小完全同态就是一个完全图，把完全图的边与顶点的关系
e＝v（v－1）/2
代入上式中，得到
v（v－1）/2≤3v－6（1－n）
整理后是一个一元二次不等式
v2－7v＋12（1－n）≤0
解这个一元二次不等式，得其正根是
v≤（7＋√（1＋48n））/2
由于图的顶点数必须是整理数，所以上式还得向下取整得
v≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞
式中用＜ ＞代替向下取整的符号。这就是不同亏格的图的最小完全同态的顶点数。由于图的色数就等于图的最小完全同态的顶点数，把式中顶点数v换成色数γ，就成了多阶曲面上图的色数公式
γ≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞
也就是赫渥特地图着色公式。从这里的推导可以看出，对于图的亏格n是没有任何限制的。因此，该公式对于亏格为0的平面图也是适用的。式中当n＝0时，就有平面图的色数小于等于4。
2、文献资料中对赫渥特地图着色公式证明前就已把亏格为0的平面图排除在外是不应该的
对于能够经过严密的推导而得出的公式，完全是可以不要再进行证明而直接使用的，因为推导过程本身就是一个证明的过程。而只有当认为该公式是一个经验公式时，才有必要进行证明。但在证明之前，对公式中的任何变量都不应该加以限制，而要用证明所得的结论去进行限制。
可是在韦斯特所著《图论导引》，沙特朗所著《图论导引》，哈拉里所著《图论》，以及卡波边柯所著《图论的例和反例》中，在对该公式的证明之前都是提前设置了图的亏格n是大于0的，这就不应该了。
韦斯特《图论引导》中在证明前说：“如果G可以嵌入到Sγ（γ＞0）上，则χ（G）≤＜（7＋√（1＋48γ））/2＞”；
沙特朗《图论导引》中在证明前说：“定理 10.21（Heawood地图染色定理）  对每个正整数k，χ（Gk）＝＜（7＋√（1＋48k））/2＞”；
哈拉里《图论》中在证明前说：“对于每一个正整理数n，亏格等于n的可定向曲面的色数由下式给出：χ（Sn）＝＜（7＋√（1＋48k））/2＞”；
卡波边柯《图论的例和反例》中没有证明，但直接就说：“K7能嵌入园环面的事实可以从Heawood地图着色定理推出，这个定理断言能嵌入亏格为n的面的所有图中的最大色数是（7＋√（1＋48k））/2，对n＞0（Ringel和Youngs 1968）。
实际上韦斯特、沙特朗和哈拉里的证明，却都是从不同的角度出发，又对赫渥特的地图着色公式推导了一次，都得到了同一个公式。
但他们却都承认当亏格为0时，赫渥特的地图着色公式的确是小于等于4的：
韦斯斯特说：“当γ＝0时，这里给出的这个关链不等式是不成立的，因此对可平面图来讲这里的论述是无效的，尽管γ＝0时的公式简化为χ（G）≤4”；
沙特朗说：“我们发现，定理10.21的证明依赖于γ（KN）的一个公式。这就是花费如此长的时间和如此多的努力而得到的结果。结合定理10.21和四色定理（指阿贝尔的证明——笔者注），就可获得如下结论。推论10.22  对每个非负整数k，χ（Gk）＝＜（7＋√（1＋48k））/2＞”，非负整数当然就包括0在内了；
哈拉里有一个注说：χ（Sn）＝＜（7＋√（1＋48k））/2＞“在n＝0时的特殊情形就是4CC”。
卡波边柯说：“既然四色定理已经确定（Appel和Haken 1976），我们可以把n＞0改成n≥0。
我国中央民族大学的许奉椿教授在其《图说四色问题》一书中说：“带有p个环柄的曲面叫做p阶可定向曲面。对p阶可定向曲面上的地图着色，希伍德给出了所需颜色数Mp的如下公式：Mp＝[（7＋√（1＋48p））/2 ],称此式为希伍德公式。式中Mp是对p阶可定向曲面上的地图着色时，使得有公共边界的区域着不同颜色的最少颜色数（似乎应是最多颜色数——笔者注）；式中方括号表示取整部分。这种公式是希伍得的一种猜测。他指出：球面，其环柄为零，即p＝0，此时Mp＝4，这就是四色定理。按照希伍德的上述公式，对在轮胎（p＝1）上的地图着色，要使其有公共边界的区域着不同颜色，需要7（Mp＝7）种颜色。同理，带有两个环柄曲面是8字形面包圈，而其着色需要8种颜色；带有三个环柄的曲面着色需要9种颜色。希伍德仅仅证明了公式在几种单简情况下是成立的。”从这里可以看出，赫渥特多阶曲面上的地图着色公式很可能只是一个经验公式，不是直接推导出来的，当然是有必要进行证明的。但现在既然我们已经可以对该公式进行严密的数学推导，那么就应该说，该项公式不需要再进行证明就可以使用了。同时从“他（指赫渥特——笔者注）指出：球面，其环柄为零，即p＝0，此时Mp＝4，这就是四色定理。”还可以看出，本来赫渥特对他的公式在图的亏格上就没有限制的，而后来的证明人，在证明前对该公式中图的亏格进行了限制中不就该的。

雷  明
二○一六年七月二十二日于长安

注：此文已于二○一六年七月二十三日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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