5—轮构形可约性的再研究

雷明85639720

5—轮构形可约性的再研究
雷  明
（二○一六年七月二十五日）

我们过去研究坎泊未证明的5—轮构形，一般总是用“九点形”来进行研究的。昨天朋友“论图1943”提出：“研究5轮构形中的九点构形是没多大用的。”我想，用还是有用的，只是尽管我们认为“九点形”并不是一个具体的图，其每一条边都代表的是一条道路的；但必竟直接看到的是一个极大图，总给人一个感觉，好象这是一个具体的图，一条边就是一条边。因此，我想就坎泊所没有研究过的5—轮构形，即含有两条有两个以上相交顶点的连通链的情况，再进行一下研究，以供朋友们参考。
1、什么是赫渥特构形（H—构形）
我认为赫渥特构形就是不但含有两条有两个以上相交顶点的连通链的图，而且又是不能同时移去两个同色的图。而把只含有两条有两个以上相交顶点的连通链的图，但又可同时移去两个同色的图叫非赫渥特构形。图1中的四个图都是非赫渥特构形，它们都是可以同时移去两个同色B的。这四个图看似相同，实际上是不同的。它他的共同点是都含有两条有两个相交顶点（顶点1和顶点8）的连通链A—C和A—D的图；不同的地方是：图1，a中含有一条环形的A—B链，图1，b中含有一条环形的C—D链，而图1，c和图1，d中都不含任何环形链。这几个图只所以都能同时移去两个同色B，主要原因是因为顶点6和顶点7之间还有别的顶点，这就造成了在从顶点1交换了B—D链时，不会新生成从顶点3到顶点5的连通链B—C，也不会在从顶点3交换了B—C链时，又新生成从顶点1到顶点4的连通链B—D。所以尽管各图中都有相交的两条连通链，也可以同时移去两个同色B，它们都不是H—构形，但却也不是坎泊构形，我叫它们非H—构形。

   
但当图1中各图的顶点6和顶点7之间再没有别的顶点时，图1中的四个图均就变成不能同时移去两个同色B的构形，如图2。它们无论是从顶1点交换B—D，还是从顶点3交换B—C，都会新生成从顶点3到顶点5的连通链B—C，或从顶点1到顶点4的连通链B—D，从而成为不能同时移去两个同色B的构形。我把它们统一叫做类赫渥特图型的构形，即类H—构形。


2、类赫渥特图的可约性
解决5—轮构形的着色问题，最好的是能同时移去两个同色B，但现在图2中的这些图都不能做到，而图中其他的两条连通链A—C和A—D又不能进行交换，这就得想别的办法了。首先考虑连通链能不能断开，创造可以进行坎泊颜色交换技术的条件。
①  图2，a构形的4—着色：图中有一条通过5—轮轮沿顶1，2，3和两连通链相交顶点8的环形链A—B，把C—B链分隔成了互不连接的两部分，交换其中任一部分C—D链，都不会影响另一部分C—D链的颜色，且会达到A—C连通链和A—D连通链断开的目的，如图3。这就使得图变成了一个没有任何连通链的坎泊构形。该构形一定是可约的，并可以空出任何一种颜色给待着色顶点。


②　图2，b构形的4—着色：图中有一条通过5—轮轮沿顶4和5，以及顶点6和7的环形链C—D，把A—B链分隔成了互不连接的两部分，交换其中任一部分A—B链，都不会影响另一部分A—B链的颜色，且会达到A—C连通链和A—D连通链断开的目的，如图4。这就使得图变成了一个没有任何连通链的坎泊构形。当然也就是可约的了，同样是可以空出任何一种颜色给待着色顶点的。具有这种特征的图，我把它叫做赫渥特图型构形，因为它的特证与赫渥特图特证是完全相同的，解法也是相同的。

③　图2，c和图2，d构形的4—着色：由于该两图中经过5—轮轮沿顶点的A—B链和C—D链都是直链（即道路），交换这种链起不到任何作用。既然不能同时移去两个同色，那么可以只颠倒一次，移去一个同色B，使构形转型，再看转型后的构形中否可约。
在图2，c中，没有任何环形链，从顶点1进行了B—D链的逆时针颠倒后，得到图5，a。该图是一个可以同时移去两个同色D的、顶点4、5、1分别着D、C、D的DCD型的非类赫渥特图型的构形，该图再从顶点4（D）进行D—A链的逆时针颠倒（若进行顺时针颠倒，实际上就是上一次逆时针颠倒的逆过程，就会回到原图，所以只能进行逆时针颠倒），就成一个只有一条连通链B—C的坎泊构形，如图5，b，再从顶点1（D）进行D—B链的交换，就可以同时移去两个同色D。

但对图2，c，若从顶点3进行了B—C链的顺时针颠倒后，得到图6，a。该图仍是有两条有两个相交顶点（顶点4和顶点7）的连通链D—A和D—B的、且有一条A—B环形链的、顶点3、4、5分别着C、D、C的CDC型的类赫渥特构形。但可以任意交换A—B环形链内外的任一条C—D链，都要可以使连通链D—A和D—B断开，成为无任何连通链的坎泊构形如图6，b。
总之，该图无论是进行那种颠倒都是可约的。图2，d与图2，c是相同的对称图，只是左右着色有差别。其解决办法与图2，c也是相同的。
3、类赫渥特构形的简化
把图2中的主要顶点进行保留，其他顶点去掉，简化后，并把图变成极大图得图7。它们仍保留着与图2的四个图相同的特点，其着色办法分别是：

图7，a中有一条环形的A—B链，从顶点4和5或顶点6和7交换C—D链，成为坎泊构形；图7，b中有一条环形的C—D链，从顶点8或顶点1，2，3交换A—B链，成为坎泊构形；
图7，c中没有任何连通链，从顶点1进行逆时针颠倒后，仍是一个与原图类似的图，即还是一个类赫渥特构形，如图8，a。再行一次逆时针颠倒，得到图8，b。该图是一个可以先从顶点交换2交换A—C链，后从顶点4交换A—D链，可同时移去两个同色A的、顶点2、3、4分别着A、B、A的ABA型的非类赫渥特构形。交换的结果如图8，c和图8，d。


图7，c若从顶点3进行顺时针颠倒后，则得到图9，a。该图是一个含有两条有两个相交顶点（顶点4和顶点7）的D—A和D—B的、顶点3、4、5分别着C、D、C的CDC型的类H—构形，但图中有一条环形的A—B链，把C—D链隔成了两部分，具有赫渥特图的特征，可任意交换任一部分C—D链，使连通链断开，使构形变成坎泊构形而得解，如图9，b。图7，d与图7，c的解法正好是相反的，因为这两图虽对称，但着色却左右不同。
4、再简化为九点形构形
把图7的四个图再简化，就得到九点形的构形，如图10。

图10，a是一个非H—构形，从顶点1交换B—D和从顶点3交换B—C，可同时移去两个同色B给待着色顶点V；图10，b是一个H—构形，从顶点9或顶点2交换A—B，都可使构形变成坎泊构形；图10，c是一个可先从顶点1进行交换B—D，后从顶点3交换B—C，可同时移去两个同色B给V的非H—构形；图10，d是一个可先从顶点3交换B—C，后从顶点1交换B—D，可同时移去两个同色B给V的非H—构形。但图10，c和图10，d若是交换的先后次序错了，也就会变成H构形，与图7，c和图7，d有相同的情况，就得按H—构形的解法再进行解决。
5、九点形5—轮构形与任意5—轮构形的关系
以上从图1，图2，图7到图10，顶点数在不断的减少，从任意的5—轮构形变化到九点形5—轮构形。图1全是非类H—构形，都可以同时移去两个同色B；图2，图7和图10中全是类H—图，各图的图
a和图b的解法都是相同的，都是用的“断链法”（但仍是坎泊的颜色交换技术）；而图c和图d，采用的是颠倒的方法（也是坎泊的颜色交换技术），也都有两种结果，一是颠倒后得到的是一个可以有先后次序的交换关于两个同色色链的可同时移去两个同色的非H—构形，另一是颠倒后得到的是一个H—构形，还得用H—构形的方法进行解决。
6、米勒图，张氏Z图和第八构形与以上各图的关系
以上各图中，只要有环形的C—D链（对BAB型而言，如a图），均是通过交换任一条A—B链而断链的：而凡是有环形的A—B链（也是对BAB型而言，如b图），均是通过交换任一条C—D链而断链的。而只有不含任何环形链的c图和d图，是通过颠倒进行转型的，但最多只经过两次颠倒就可以转变成非赫渥特构形而得解。
我们还知道，米勒图中也有环形的A—B链，也是通过交换任一条C—D链而断链的。看来米勒图也应属于以上各图中的a图构形一类，按张彧典先生的叫法，我们统一将其与米勒图都叫做M—构形。图11中的米勒图，张彧典先生的Z2—图，Z3—图和九点形构形的a图，都是M—构形，都可以交换任一条C—D链而断链，使构形变成坎泊构形。九点形构形的a图的交换方法如图12，构形也变成一个坎泊构形。但张先生的Z1—图却是H—构形，图中有一条环形的C—D 链，必须要用交换任一条A—B链的办法使之变成坎泊构形，如图13。


张彧典先生的第八构形则与我们以上的各图中的c图和d图相似，都要使用颠倒法进行转型，但最多也颠倒两次就可以解决问题，不知张先生为什么要用了八次颠倒才能解决问题呢。明明第二构形（即H—构形）只颠倒了两次，而第八构形颠倒了八次，也不知张先生为什么要把这两个构形归入一个类别呢。另外，我根据张先生的构形八构造的对称图形Z—L构形，也就是我上面图7中的c图和d图。

7、以上是我自已的认识，不知对网友们有没有用处或是帮助。

雷  明
二○一六年七月二十五日于长安

注：此文已于二○一六年七月二十八日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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