勾股数新公式

蔡家雄

等差勾股方程

设 p 的素因子均为 8k -1型 或 8k+1型，

且 a 与 p 互素，

则 a^2+(a+p)^2=c^2 是 本原勾股方程。

若 p 有 t个 不同的素因子，

则 a^2+(a+p)^2=c^2 有 2^t组 通项公式。


求 a^2+(a+p)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数，且 x < y，且 x与y 互素，

求 |y^2 - x^2 - 2*x*y| =p 的最小2^t组 正整数解，

设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解，

设 R1=xi, R2=yi,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn, 得2^t组Rn数列

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项，

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是 两直角边相差p 的本原勾股数。

s = 0;
For[p = 23*49*289; y = 2, y <= 3000, y++,
For[x = 1, x <= 2000, x++,
If[Abs[(y^2 - x^2) - 2*x*y] == p && (x < y) && CoprimeQ[x, y], s = s + 1;
Print[s, "-----x=", x, ",  y=", y, ","]]]]


求 a^2+(a+23*49)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数，且 x < y，且 x与y 互素，

求 |y^2 - x^2 - 2*x*y| =23*49 的最小2^2组 正整数解，

设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解，

设 R1=xi, R2=yi,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn，得4组Rn数列

第1组 Rn=24, 29, 82, 193, 468, 1129, 2726, 6581, ...

第2组 Rn=26, 41, 108, 257, 622, 1501, 3624, 8749, ...

第3组 Rn=11, 48, 107, 262, 631, 1524, 3679, 8882, ...

第4组 Rn=19, 62, 143, 348, 839, 2026, 4891, 11808, ...

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项，

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是 两直角边相差23*49 的本原勾股数。


等和勾股方程

设 p 的素因子均为 8k -1型 或 8k+1型，

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= p ，

若 p 有 t个 不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例：
若 p 为素数或素数幂，

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。


若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= 7*17，

由 7*17 有 2个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(2-1)组 本原勾股数。

1-----( a=39, b=80, c=89 )

2-----( a=99, b=20, c=101 )


若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= 7*17*23，

由 7*17*23 有 3个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。

1-----( a=73, b=2664, c=2665 )

2-----( a=1425, b=1312, c=1937 )

3-----( a=1705, b=1032, c=1993 )

4-----( a=2173, b=564, c=2245 )


特殊勾股方程

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b=r^n 及 c=s^n, ( n>=2 )

的 本原勾股数，你能找到吗？

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b=r^2 及 c=s^2, ( r, s 均为整数 )

的 本原勾股数 是 存在的。

a=1061652293520 , b=4565486027761 , c=2165017^2

a, b 互质，且 a+b=2372159^2 及 c=2165017^2.


勾股弦方程

若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+2n ,

若 2n 有 t个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例：
若 2n=2^k ,

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。


若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+7744 ,

由 7744 有 2个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(2-1)组 本原勾股数。

1-----( a=22385, b=9792, c=24433 )

2-----( a=7745, b=29992512, c=29992513 )


若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+2020 ,

由 2020 有 3个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。

1-----( a=12221, b=2220, c=12421 )

2-----( a=2045, b=83628, c=83653 )

3-----( a=257045, b=2028, c=257053 )

4-----( a=2021, b=2042220, c=2042221 )

羊梓敏

这么厉害的

羊梓敏

蔡家雄 发表于 2017-8-23 20:04
这个定理的编程验证：      
                                                   
s=0;             ...

好的  这个定理有什么实际推广吗

luanjinling

羊梓敏 发表于 2017-8-23 20:05
好的  这个定理有什么实际推广吗

通过计算，可以判断一个数是不是素数。如果改进，你也可以找到一个最大素数，打破外国人的记录

朱明君

朱火华先生：您好！
首先，感谢您对本栏目的关注！
经过专家审阅，认为，人们早已得到全部勾股数组的公式：a = r(u2-v2),   b = 2ruv,   c = r(u2+v2)
其中r, u, v是任意正整数，u > v（详见《什么是数学》，复旦大学出版社，2012年第3版，50--52页）。这显然比本文的结果更完整、更简洁。
您的来稿(查看稿件)不符合本栏目的要求，因此予以退稿。
此致
敬礼！
《科学智慧火花》编辑组
2017年06月10日

朱明君

导出全部勾股数的PQ公式及应用举例
周祖恕    2012-1-14

勾  股  数

1．  定义：凡符合X2+Y2=Z2公式的正整数值我们称之为勾股数。X和Y是直角边，Z是斜边。

2．  凡有公约数的勾股数我们称之为派生勾股数，例[30，40，50] 等；

3．  无公约数的勾股数，例[3，4，5]；[8，15，17]等，我们称之为勾股数。全是偶数的勾股数必是派生勾股数，三个奇数不可能符合定义公式。因此，勾股数唯一可能存在的形式是：

X和Y分别是奇数和偶数（偶数和奇数），斜边Z只能是奇数。

4．  勾股数具有以下特性：

斜边与偶数边之差是奇数,这个奇数只能是某奇数的平方数, 例1,9,25,49,……，至无穷大；

斜边与奇数边之差是偶数,这个偶数只能是某偶数平方数的一半, 例2，8，18，32，……，至无穷大；

由以上定义我们推导出勾股公式：  

   
     X =  P” +  PQ　　　　　　　　　　（X等于P平方加PQ）          (P”表示P平方)
     Y =  Q”/ 2  +  PQ　　　　　　　　（Y等于二分之Q方加PQ）
     Z =  P” + Q” / 2  +  PQ　　　　（Z等于P平方加二分之Q方加PQ）   

5．  它极清楚地显示出了斜边与偶数直角边之差是奇数的平方，斜边与奇数直角边之差是偶数平方值的一半，而斜边则是由奇数的平方与偶数平方的一半和此奇数与偶数之积三项之和所构成。

6．  此公式可导出自然界的全部勾股数，包括部分派生勾股数。用此公式很容易导出任意勾股数，例如2000以内的勾股数计有320组,（不含派生勾股数）。最大的一组是 [315, 1972, 1997]

7．  以任意奇数代入P ，任意偶数代入Q ，即可得到唯一一组勾股数。

例如P = 5 ，Q = 8 ，得到

   X = 25 + 5×8 = 65

                                 Y = 32 + 5×8 = 72

                        Z = 25 + 32 + 5×8 = 97

8．  当P与Q有公约数时，例如9与12 ，再例如21与28等，推导出来的是派生勾股数；

当P与Q无公约数时，例如9 与8 ，再例如21与20等，推导出来的是勾股数；

9．  斜边是1105和1885的勾股数各有4组：

[4 7，1104，1105]  [817，744，1105]  [943，576，1105]  [1073，264，1105]；

[427，1836，1885]  [1003，1596，1885]  [1643，924，1885]  [1813，516，1885]；

10．              不存在不符合本公式的勾股数。例如有人奉献趣味勾股数[88209，90288，126225]，它实际 是个派生勾股数，它是[297，304，425]乘297倍而成，它是由P = 11和Q = 16导出。

11．              此前能导出勾股数的唯一公式六百处前印度人婆罗门笈多先生提供的公式，含m”+ n”；  m” - n”；及 2mn等，本文提供的公式不含减号，但与传统公式可以相互推导。

                                                                                                                    上海书展   ２００６．８．５．

蔡家雄

蔡家雄勾股数公式1

设 n^2=u*v ,且 n>1, u>v, n,u,v 均为正整数，

若 u,v 一奇一偶且互质 及 n有t个不同的质因子，

则 (u-v)^2+(2n)^2=(u+v)^2 有2^(t-1)组本原勾股数。

由公式1，等式两边同时除以4，得

蔡家雄勾股数公式2

设 n^2=u*v ,且 n>2, u>v, n,u,v 均为正整数，

若 u,v 同奇且互质 及 n有t个不同的质因子，

则 n^2+[(u-v)/2]^2=[(u+v)/2]^2 有2^(t-1)组本原勾股数。


本原勾股数新公式

设 n为正整数，k为非负整数，

设 a= 2^(k+1)*(2^k+2n -1)
    b= ((2n+2^k -1))^2 -2^(2k)
    c= ((2n+2^k -1))^2 -2^(2k)+2^(2k+1)

则 a^2+b^2 =c^2

当 k=0 时，有 a=4n,  b=4*n^2 -1,  c=4*n^2+1.

当 k=1 时，有 a=8n+4,  b=(2n+1)^2 -4,  c=(2n+1)^2+4.


本原勾股数新公式

设 (2k -1) 与 (2n+1) 同奇且互素，

设 a= (2k -1)*(2n+1)
    b= 2*n^2+4kn -2n
    c= 2*n^2+4kn -2n+(2k -1)^2

则 a^2+b^2 =c^2

当 k=1 时，有 a=2n+1,  b=2*n^2+2n,  c=2*n^2+2n+1.


等差勾股方程

设 p 的素因子均为 8k -1型 或 8k+1型，

且 a 与 p 互素，

则 a^2+(a+p)^2=c^2 是 本原勾股方程。

若 p 有 t个 不同的素因子，

则 a^2+(a+p)^2=c^2 有 2^t组 通项公式。


求 a^2+(a+p)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数，且 x < y，且 x与y 互素，

求 |y^2 - x^2 - 2*x*y| =p 的最小2^t组 正整数解，

设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解，

设 R1=xi, R2=yi,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn, 得2^t组Rn数列

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项，

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是 两直角边相差p 的本原勾股数。

s = 0;
For[p = 23*49*289; y = 2, y <= 3000, y++,
For[x = 1, x <= 2000, x++,
If[Abs[(y^2 - x^2) - 2*x*y] == p && (x < y) && CoprimeQ[x, y], s = s + 1;
Print[s, "-----x=", x, ",  y=", y, ","]]]]


求 a^2+(a+23*49)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数，且 x < y，且 x与y 互素，

求 |y^2 - x^2 - 2*x*y| =23*49 的最小2^2组 正整数解，

设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解，

设 R1=xi, R2=yi,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn，得4组Rn数列

第1组 Rn=24, 29, 82, 193, 468, 1129, 2726, 6581, ...

第2组 Rn=26, 41, 108, 257, 622, 1501, 3624, 8749, ...

第3组 Rn=11, 48, 107, 262, 631, 1524, 3679, 8882, ...

第4组 Rn=19, 62, 143, 348, 839, 2026, 4891, 11808, ...

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项，

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是 两直角边相差23*49 的本原勾股数。


等和勾股方程

设 p 的素因子均为 8k -1型 或 8k+1型，

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= p ，

若 p 有 t个 不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例：
若 p 为素数或素数幂，

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。


勾股弦方程

若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+2n ,

若 2n 有 t个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例：
若 2n=2^k ,

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。

zy1818sd

看到菜老师还活跃在这里，很高兴，加油！

zy1818sd

实在的讲，菜老师的研究很有特色。，确有独到思维。

zy1818sd

希望听到菜老师的声音。